Исследовать ** сходимость ряд

Question 1

Исследовать на сходимость ряд

Question 2

$\sum^ \infty _{n=1} 2^{n-1}e^{-n}$

Сходимость ряда определена по признаку Даламбера.

Признак Даламбера: . Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему: $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n +1}}{a_n } =q$ , то:

а) При q<1 ряд сходится. <br>б) При q>=1 ряд расходится.
в) При q=1 признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак.

$\\ \lim_{n \to \infty} \frac{ 2^{n-1+1}e^{-n+1}}{ 2^{n-1}e^{-n}} =\lim_{n \to \infty} \frac{ 2^{n}e^{-n+1}}{ 2^{n-1}e^{-n}} = \\ =\lim_{n \to \infty} \frac{ 2^{n}e^{-n}*e^1}{ 2^{n}*2^{-1}e^{-n}} =\lim_{n \to \infty} \frac{ e^1}{ 2^{-1}} =2e$

2e>1 следовательно ряд расходится

JuliaKovalchook_zn · Answer 1 · 2018-05-16T03:05:43+0000

$\sum^ \infty _{n=1} 2^{n-1}e^{-n}$

Сходимость ряда определена по признаку Даламбера.

Признак Даламбера: . Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему: $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n +1}}{a_n } =q$ , то:

а) При q<1 ряд сходится. <br>б) При q>=1 ряд расходится.
в) При q=1 признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак.

$\\ \lim_{n \to \infty} \frac{ 2^{n-1+1}e^{-n+1}}{ 2^{n-1}e^{-n}} =\lim_{n \to \infty} \frac{ 2^{n}e^{-n+1}}{ 2^{n-1}e^{-n}} = \\ =\lim_{n \to \infty} \frac{ 2^{n}e^{-n}*e^1}{ 2^{n}*2^{-1}e^{-n}} =\lim_{n \to \infty} \frac{ e^1}{ 2^{-1}} =2e$

2e>1 следовательно ряд расходится