Будьте добры, подскажите как решается Дано дифференциальное уравнение y''-8y'+15y=2e^3x....

Это дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, неоднородное.
Найдем сначала однородное уравнение, т.е. $y''-8y'+15y=0$ .
Пусть $y=e^{kx}$ , тогда получим характеристическое уравнение вида $k^2-8k+15=0$
По т. Виета: $k_1=3;\,\,\,\,\,\, k_2=5.$

Общее решение однородного уравнения: $y_{o.o.}=C_1e^{5x}+C_2e^{3x}$

Найдем теперь частное решение.
Рассмотрим функцию правой части уравнения $f(x)=2e^{3x}$ .
$P_n(x)=2;\,\,\,\,\, \alpha =3;\,\,\,\,\, n=0.$

Сравнивая $\alpha$ с корнями характеристического уравнения и ,принимая во внимания, что n=0, то частное решение будем искать в виде:
Уч.н. = $C_0xe^{3x}$