Заданее ин пикчер)))))

Так как все числа положительные можно использовать неравенство Коши, гласящее что среднее арифметическое больше или равно среднему геометрическому.
1)Сначала приведем к общему знаменателю abc:
$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = \frac{ a^{2}c+ b^{2}a+ c^{2}b }{abc}$
2)Рассмотрим числитель этой дроби и применим к нему неравенство Коши:
$\frac{a^{2}c+ b^{2}a+ c^{2}b }{3} \geq \sqrt[3]{a^{2}c* b^{2}a* c^{2}b }$
откуда:
$a^{2}c+ b^{2}a+ c^{2}b \geq 3 \sqrt[3]{ a^{3}b^{3}c^{3} }$

$a^{2}c+ b^{2}a+ c^{2}b \geq 3abc$
3) Теперь разделим обе части неравенства на abc, чтоб в левой части получить исходное выражение:

$\frac{a^{2}c+ b^{2}a+ c^{2}b}{abc} \geq \frac{3abc}{abc} =3$
Значит если выражение больше либо равно трем, то наименьшее значение выражения 3