В равностороннем треугольнике медиана равна 9 м найдите радиус вписанной...

Смотрите, все медианы равны у этого треугольника, и заодно они - высоты, то есть перпендикулярны сторонам. Если взять точку пересечения медиан (=высот), то от неё до любой стороны будет одинаковое расстояние. Как раз это будет кусочек медианы между этой точкой и стороной. Потому что медиана перпендикулярна стороне. А точка пересечения медиан делит медиану на части 2:1 считая от вершины. Поэтому радиус равен 9/3

Дано:
ΔABC - равносторонний
BM (медиана) = 9 см
______________
r -?

РЕШЕНИЕ:

В равностороннем треугольнике медиана = биссектрисе = высоте, поэтому ΔАВМ - прямоугольный. Несложно найти сторону ΔАВС по теореме Пифагора.

Обозначим сторону треугольника за х, тогда АМ = х/2, получаем:

$x^2- (\frac{x}{2})^2=9^2\\\\ x^2- \frac{x^2}{4}=81\ \ |\cdot4 \\\\ 4x^2-x^2=324\\\\ 3x^2=324\\\\ x^2=108\\\\ x=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$

Радиус вписанной окружности находим по формуле:

$r= \frac{a}{2\sqrt3}\\\\ r= \frac{6\sqrt3}{2\sqrt3}=3$

Ответ: 3 м