Вокруг некоторой планеты по круговой орбите радиуса R1 летает спутник со скоростью v....

Question

Вокруг некоторой планеты по круговой орбите радиуса R1 летает спутник со скоростью v. Если бы масса планеты была в четыре раза больше, то тот же спутник двигался бы со скоростью , но по орбите радиуса R2. Определите отношение радиусов орбит R2/R1

Answer 1

В первом случае первая космическая скорость спутника:
V₁ = √ (g₁*R₁)                 (1)

Во втором случае:
V₂ = √ (g₂*R₂)                 (2)

По условию V₁=V₂=V
Тогда приравняем (1) и (2):
√ (g₁*R₁)  = √ (g₂*R₂)  
 g₁*R₁  = g₂*R₂
 
Отсюда:
R₂/R₁ = g₁ / g₂

Остается выяснить вопрос об ускорениях свободного падения .
Из  формулы
g = G*Mпл / R²
следует, что при увеличении массы планеты в 4 раза ускорение тоже УВЕЛИЧИВАЕТСЯ в 4 раза, то есть:
g₂ = 4*g₁

R₂/R₁ = g₁ / (4*g₁) = 1 / 4

Ответ: R₂ : R₁  =  1 : 4