Числа a и b удовлетворяют равенству (a + b)² + 1 = (a + 1)*(b + 1)
Какие значения может принимать разность (a³ - a²) - (b³ - b²) ?
Решение
Преобразуем равенство для чисел a и b
(a + b)² + 1 = (a + 1)*(b + 1)
a² + 2ab + b² + 1 = ab + a + b + 1
a² + ab + b² = a + b
Теперь найдем значение разности
(a³ - a²) - (b³ - b²) = a³ - a² - b³ + b² = a³ - b³ - (a² - b²) = (a - b)(a²+ab+b²)-(a²-b²)
Подставим выражение полученное из равенства для чисел a и и b
a² + ab + b² = a + b
Получим
(a - b)(a² + ab + b²) - (a² - b²) = (a - b)(a + b) - (a² - b²) = a² - b² - a² + b² = 0
Следовательно если числа a и b удовлетворяют равенству
(a + b)² + 1 = (a + 1)*(b + 1)
то (a³ - a²) - (b³ - b²) = 0
Ответ: 0