Покажем, что биссектриса угла ABC параллельна OY.
Уравнение прямой на плоскости - Ax+By+C=0.Составим уравнения прямых AB и BC:A(1;4), B(2;5)
{A+4B+C=0
{2A+5B+C=0
{A+4B+C=0
{B=-A
{C=3A
{B=-A
Получили:
Ax-Ay+3A=0. Разделим на A:
x-y+3=0 - уравнение прямой AB
B(2;5), C(5;2)
{2A+5B+C=0
{5A+2B+C=0
{B=A
{C=-7A
Получили:
Ax+Ay-7A=0. Разделим на A:
x+y-7=0 - уравнение прямой BC.
Прямая, содержащая биссектрису угла между двумя прямыми
A_1x+B_1y+C_1=0
A_2x+B_2y+C_2=0
Имеет вид
Подставим наши значения:
Решением данного уравнения будетy=5 или x=2 (неоднозначность появляется из-за того, что между двумя пересекающимися прямыми возникает две пары углов)
Прямая y=5 не подходит, так как она не проходит через угол ABC. Отсюда биссектриса угла ABC лежит на прямой x=2 (параллельной OY)
Найдем основание данной биссектрисы, как пересечение прямой x=2 и AC:
A(1;4), C(5;2)
{A+4B+C=0
{5A+2B+C=0
{A+4B+C=0
{B=2A
{C=-9A
{B=-2A
Получили:
Ax+2Ay-9A=0. Разделим на A:
x+2y-9=0 - уравнение прямой AC.
Пересекаем с x=2:
2+2y-9=0
2y=7
y=3.5
Основание биссектрисы (2;3.5)2*3.5=7
Ответ: 7