Как получить из формулы это?

Question

Дан 1 ответ

kolobok1431_zn · Answer 1 · 2018-05-16T04:22:00+0000

Tgα - это угол между двумя прямыми.

В первой формуле эти прямые заданы уравнениями вида y = kx+b.
y₁ = k₁x+b₁ - это уравнение первой прямой
y₂ = k₂x+b₂ - это уравнение второй прямой

В второй формуле эти прямые заданы уравнениями вида Ах+Вy+С = 0
А₁x+В₁у+С₁ = 0 - это уравнение первой прямой
А₂x+В₂у+С₂ = 0 - это уравнение второй прямой

Уравнения
А₁x+В₁у+С₁ = 0
А₂x+В₂у+С₂ = 0
приведем к виду y =kx+b, для этого решим их относительно у.
1) Сначала решим первое уравнение
А₁x+В₁у+С₁ = 0
В₁у = - А₁х + С₁
у = - (А₁/В₁)х + С₁
Сопоставив с формулой y = k₁x+b₁, получим:
k₁ = -(А₁/В₁)
2) Теперь решим второе уравнение
А₂x+В₂у+С₂ = 0
В₂у = - А₂х + С₂
у = - (А₂/В₂)х + С₂
Сопоставив с формулой y = k₂x+b₂, получим:
k₂ = -(А₂/В₂)

3) И, наконец, в данную в условии формулу $tg \alpha = \frac{ k_{2}- k_{1} }{ k_{1} k_{2} +1 }$ подставим вместо k₁ и k₂ их значения.

$tg \alpha = \frac{ k_{2} -k_{1} }{ k_{1} k_{2}+1 } = (- \frac{A_{2} }{ B_{2} }-(- \frac{ A_{1} }{ B_{1} })):((- \frac{ A_{1} }{ B_{1} })*(- \frac{ A_{2} }{ B_{2} })+1)=$ $\frac{- A_{2} B_{1}+ A_{1} B_{2} }{ B_{1} B_{2} } :( \frac{ A_{1} A_{2} }{B_{1} B_{2} }+1)= \frac{ A_{1} B_{2}- A_{2} B_{1} }{B_{1} B_{2} } : \frac{A_{1} A_{2}+B_{1} B_{2} }{B_{1} B_{2} }=$ $\frac{( A_{1} B_{2} - A_{2} B_{1} )* B_{1} B_{2} }{B_{1} B_{2}*(A_{1} A_{2} +B_{1} B_{2}) } = \frac{A_{1} B_{2} - A_{2} B_{1} }{A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} }$