Нет, тут все намного сложнее. Надо выделять 7 в основаниях.
2222 = 7*317 + 3; 5555 = 7*793 + 4
A = 2222^5555 + 5555^2222 = (7*317+3)^5555 + (7*793+4)^2222
При разложении этих биномов все члены будут кратны 7, кроме последних.
Дальше знак = будет означать "имеет такой же остаток от деления на 7".
A = 3^5555 + 4^2222 = (3^5)^1111 + (4^2)^1111 = 243^1111 + 16^1111 =
= (210+28+5)^1111 + (14+2)^1111 = 5^1111 + 2^1111 =
= 5^4*5^1107 + 2^4*2^1107 = 625*(5^3)^369 + 16*(2^9)^123 =
= (7*89+2)*125^369 + (14+2)*(7*73+1)^123 = 2*(7*17+6)^369 + 2*1^123 =
= 2*6^369 + 2 = 2*(6^3)^123 + 2 = 2*(7*30+6)^123 + 2 = 2*6^123 + 2 =
= 2*(6^3)^41+2 = 2*6^41+2 = 2*36*6^39+2 = 72*(6^3)^13+2 = 2*6^13+2 =
= 2*6*6^12+2 = 12*(6^3)^4+2 = (7+5)*6^4+2 = 5*6*6^3+2 = (28+2)*6+2 =
= 2*6 + 2 = 14 = 7*2 = 0
Таким образом, мы доказали, что у этой суммы остаток от деления на 7 равен 0, то есть она кратна 7.