А) Докажите вторую формулу для биссектрисы AD треугольника ABC: AD = (2bc/b+c)*cosA/2,...

Question

45 просмотров

А) Докажите вторую формулу для биссектрисы AD треугольника ABC: AD = (2bc/b+c)*cosA/2, используя формулу S(ABC) = S(ABD) + S(ACD)

б) В прямоугольном треугольнике ABC (угол С = 90 градусов) проведены высота CH и биссектриса CK. Найдите площадь треугольника ABC, если CH = 3 и CK = 4.

Геометрия Sergey2k16_zn (15 баллов) 16 Май, 18 | 45 просмотров

Дан 1 ответ

Правильный ответ

А) ΔАВС , АВ=с , АС=b , АД=l - биссектриса ⇒ ∠ВАД=∠ДАС=А/2
S(АВC)=S(АВД)+S(АДС)
1/2·b·c·sinA=1/2·с·l·sinA/2+1/2·b·l·sinA/2
b·c·2sinA/2·cosa/2= l·sinA/2·(c+b)
2b·c·cosA/2= l·(b+c)
l=(2bc·cosA/2)/(b+c)

$l= \frac{2bc\cdot cos\frac{A}{2}}{b+c} = \frac{2bc}{b+c} \cdot cos\frac{A}{2}$

2) ΔABC , ∠C=90° , СН⊥АВ , СК - биссектриса ⇒∠АСК=∠ВСК=45° .
СН=3 , СК=4 .
ΔКСН: ∠КНС=90° . КН=√(СК²-СН²)=√(4²-3²)=√(16-9)=√7 .
Обозначим ∠КСН=α ⇒ tgα=KH/CH=√7/3 ⇒ α=arctg(√7/3)
ΔBCH: ∠BHC=90° , ∠BCH=∠BCK-∠KCH=45°-α=π/4-arctg(√7/3) .

$BH=CH\cdot tgBCH=3\cdot tg( \frac{\pi }{4} -arctg \frac{\sqrt7}{3} )=\\\\=3\cdot \frac{tg\frac{\pi}{4}-tg(arctg\frac{\sqrt7}{3})}{1+tg\frac{\pi}{4}\cdot tg(arctg\frac{\sqrt7}{3})} =3\cdot \frac{1- \frac{\sqrt7}{3} }{1+ \frac{\sqrt7}{3} }=3\cdot \frac{3-\sqrt7}{3+\sqrt7} = \frac{3\cdot (3-\sqrt7)}{3+\sqrt7}$

ΔACH: ∠AHC=90° , ∠ACH=∠ACK+∠KCH=45°+α=π/4+arctg√7/3 .

$AH=CH\cdot tgACH=3\cdot tg(\frac{\pi}{4}+arctg\frac{\sqrt7}{3})=\\\\=3\cdot \frac{tg\frac{\pi}{4}+tg(arctg\frac{\sqrt7}{3})}{1-tg\frac{\pi}{4}\cdot tg(arctg\frac{\sqrt7}{3})} =3\cdot \frac{1+\frac{\sqrt7}{3}}{1-\frac{\sqrt7}{3}} =3\cdot \frac{3-\sqrt7}{3+\sqrt7} = \frac{3\cdot (3+\sqrt7)}{3-\sqrt7}$

$AB=AH+BH= \frac{3\cdot (3+\sqrt7)}{3-\sqrt7}+ \frac{3\cdot (3-\sqrt7)}{3+\sqrt7} =3\cdot \Big ( \frac{(3+\sqrt7)^2+(3-\sqrt7)^2}{(3-\sqrt7)(3+\sqrt7)} \Big )=\\\\=3\cdot \frac{9+9+7+7}{9-7} =3\cdot \frac{32}{2}=3\cdot 16=48\\\\S(ABC)= \frac{1}{2}\cdot AB\cdot CH= \frac{1}{2} \cdot 48\cdot 3=24\cdot 3=72$

NNNLLL54_zn (831k баллов) 16 Май, 18