Х^4+6х^3+9х^2-14(х^2+3х)+40<0

Question

Х^4+6х^3+9х^2-14(х^2+3х)+40<0

Answer 1

Task/25379569
--------------------
x⁴+6х³+9х² - 14(х^2+3х)+40<0 ;<br>(x²+3x)² -14(x +3x) +40 < 0 ;     
(x²+3x)² -2(x +3x)*7 +49 - 9 < 0 ;
(x²+3x -7)² - 3²  < 0 ;
(x²+3x -7 - 3)(x²+3x -7 + 3 )  < 0 ;
(x²+3x -10)(x²+3x - 4 )< 0; Виет (x² -(-5+2)x +(-5)*2 )(x²-( -4+1)x + (-4)*1 ) < 0 ;
(x+5)(x+4)(x -1)(x-2) < 0  ;     методом интервалов<br>      +                   -                        +                    -                       +
---------- (- 5)//////////////////(- 4) ------------( 1) ////////////////// (2) ---------------

ответ : x ∈( -5 ; -4) ∪ (1; 2)  . 
--------------------------------------
* * * 40 = 1*2*2*2 *5 * * *

Answer 2

X⁴ + 6x³ + 9x² - 14(x² + 3x) + 40 < 0
x²(x² + 6x + 9) - 14x(x + 3) + 40 < 0
x²(x + 3)² - 14x(x + 3) + 40 < 0
Пусть t = x(x + 3).
t² - 14t + 40 < 0
t² - 10t - 4t + 40 < 0
t(t - 10) - 4(t - 10) < 0
(t - 4)(t - 10) < 0
                   |||||||||||||||||||||||||||||||||||
---------------(4)---------------------(10)-------------------> t
t ∈ (4; 10).
Обратная замена:
4 < x(x + 3) < 10
4 < x² + 3x < 10
Разойдёмся на систему из двух неравенств:
4 < x² + 3x
x² + 3x < 10

x² + 3x - 4 > 0
x² + 3x - 10 < 0

x² + 4x - x - 4 > 0
x² - 2x + 5x - 10 < 0

x(x + 4) - (x + 4) > 0
x(x - 2) + 5(x - 2) < 0

(x - 1)(x + 4) > 0
(x + 5)(x - 2) < 0

Решение первого неравенства:
x ∈ (-∞; -4) U (1; +∞)
Решение второго неравенства:
x ∈ (-5; 2)

Пересекая неравенства, получаем:
x ∈ (-5; -4) U (1; 2) 

Ответ: x ∈ (-5; -4) U (1; 2).