Найти все значения a, при каждом из которых уравнение имеет ровно четыре решения:...

Question

Дан 1 ответ

Kulakca_zn · Answer 1 · 2018-05-16T04:28:18+0000

Произведём замену в уравнении. Пусть $log_{5} x = t$ . Тогда
$log_{5} x^{2} = 2 log_{5} x = 2t$ , и уравнение принимает вид:
$|2t - a| - |t + 2a| = t^{2}$
Поскольку логарифм принимает любые значения, то t также принимает любые значения. Ограничений на неё нет. Помимо этого, для каждого t из замены найдётся ровно один x, поэтому для выполнения условия задачи необходимо потребовать, чтобы полученное уравнение относительно t также имело ровно 4 решения.

Итак, решаем нашу новую задачу. Для начала замечу, что в правой части стоит квадрат, а $t^{2} \geq 0$ . Следовательно, чтобы уравнение вообще имело какие-нибудь корни(не обязательно 4), необходимо, чтобы и левая часть была неотрицательной, то есть,
$|2t - a| - |t + 2a| \geq 0$ , откуда
$|2t - a| \geq |t + 2a|$
Решим это неравенство. Для этого(в силу неотрицательности обеих его частей(поскольку модуль - величина неотрицателньая)), возведём обе части в квадрат, далее используя формулы разности квадратов.
$(2t - a)^{2} \geq (t + 2a)^{2} \\ (2t - a)^{2} - (t + 2a)^{2} \geq 0 \\ (2t - a - t - 2a)(2t - a + t + 2a) \geq 0 \\ (t - 3a)(3t + a) \geq 0$

При этом возникают такие случаи:
1)Если $a = 0$ , то, подставляя в наше неравенство, получим, что
$3 t^{2} \geq 0$ . Это, разумеется, верно. Поэтому при а = 0 уравнение относительно t МОЖЕТ ИМЕТЬ корни(а может и не иметь, или иметь, но не 4). Поэтому этого кандидата мы сейчас простестируем, подставив его уже в уравнение. Если мы получим ровно 4 корня, то всё хорошо, в ответ это значение параметра войдёт, иначе нам придётся убрать его. Подставляем:
$|2t| - |t| = t^{2} \\ 2|t| - |t| = t^{2} \\ t^{2} = |t| \\ |t|^{2} - |t| = 0 \\ |t|(|t| - 1) = 0$

$|t| = 0$ или $|t| = 1$ , откуда
$t = 0$    или   $t = +-1$ .
В любом случае, корней всего 3, а надо 4. Поэтому a = 0 условию задачи не удовлетворяет.

2)Пусть $a \ \textgreater \ 0$ . Тогда возвращаемся к нашему неравенству, с которого всё и началось. Если a > 0, то, очевидно, $3a \ \textgreater \ -\frac{a}{3}$ . Наносим эти нули на координатную ось в порядке возрастания и записываем с помощью метода интервалов ответ:
t ∈ $(-$ ∞, $- \frac{a}{3}]$ ∪ $[3a, +$ ∞)
Берём первый кусок , то есть, пусть $t \leq - \frac{a}{3}$ . Тогда тем более $t \ \textless \ \frac{a}{2}$ , то есть, $|2t - a| = a - 2t$ . Для второго модуля нулём является точка t = -2a. Из неравенства $t \leq -\frac{a}{3}$ , вообще говоря, нельзя ничего сказать о втором модуле в уравнении, поскольку $-2a \ \textless \ - \frac{a}{3}$ для нашего случая a > 0, и модуль может раскрыться хоть со знаком +, хоть со знаком -. Поэтому в этом случае уравнение принимает вид:
$a - 2t = t^{2} + |t + 2a|$
Теперь будем раскрывать модуль.
     а)Если $t \geq -2a$ , то $|t + 2a| = t + 2a$ и уравнение упрощается
    $a - 2t = t^{2} + t + 2a \\ t^{2} + 3t + a = 0$
Совмещая интервал раскрытия модулей с рассматриваемым интервалом для t, приходим к системе
$\left \{ {{-2a \leq t \leq - \frac{a}{3} } \atop { t^{2} +3t+a=0}} \right$

б)Соответственно, при $t \ \textless \ -2a$ , модуль раскрывается с противоположным знаком, то есть, имеем систему
$\left \{ {{t \ \textless \ -2a} \atop {t^{2} + t - 3a}} \right$
Замечаем, что в каждую из систем входит квадратное уравнение. А в целом, когда каждая из систем будет иметь решение? Только тогда когда уравнение имеет решение, и не просто имеет, а решение, принадлежащее УКАЗАННОМУ интервалу. Уравнение у нас иметь должно 4 решения. Очевидно, каждая из систем должна иметь ровно по 2 решения(поскольку каждая система даёт либо 0, либо 1, либо 2 решения - всё зависит от квадратного уравнения). То есть, ситуации, когда одна система имеет одно решение, а вторая - три, невозможна - квадратное уравнение не может иметь три корня.

     а)Задача формулируется так: при каких а квадратное уравнение $t^{2} + 3t + a = 0$ имеет два корня на отрезке $[-2a, - \frac{a}{3} ]$ . Запишем необходимые и достаточные условия для нашей ситуации.

$D = 9 - 4a$ , $x_{0} = \frac{-b}{2a} = -\frac{3}{2}$
$f(-2a) = (-2a)^{2} + 3(-2a) + a = 4 a^{2} - 5a$ ,
$f(- \frac{a}{3} ) = \frac{ a^{2} }{9} - a + a = \frac{ a^{2} }{9}$

0 \\ -2a \ \textless \ x_{0} \ \textless \ - \frac{a}{3} \\ f(-2a) \geq 0 \\ f(- \frac{a}{3} ) \geq 0 " alt="D > 0 \\ -2a \ \textless \ x_{0} \ \textless \ - \frac{a}{3} \\ f(-2a) \geq 0 \\ f(- \frac{a}{3} ) \geq 0 " align="absmiddle" class="latex-formula">
Теперь подставляем всё и решаем полученную систему:
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=9+-+4a+%5C+%5Ctextgreater+%5C++0+%5C%5C+-2a+%5C+%5Ctextless+%5C++-+%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D+%5C+%5Ctextless+%5C++-+%5Cfrac%7Ba%7D%7B3%7D++%5C%5C+4+a%5E%7B2%7D+-+5a++%5Cgeq++0+%5C%5C++%5Cfrac%7B+a%5E%7B2%7D+%7D%7B9%7D++%5Cgeq++0" id="TexFormula39" title="9 - 4a \ \textgreater \ 0 \\ -2a \ \textless \ - \frac{3}{2} \ \textless \ - \frac{a}{3} \\ 4 a^