Задача для 11 класса, правило Лопиталя, ряды Тейлора и т. д. использовать нельзя.. Сделал...

Question 1

Задача для 11 класса, правило Лопиталя, ряды Тейлора и т. д. использовать нельзя.
$\lim_{x \to 0} \frac{e^{ax}-e^{bx}}{x}$ . Сделал (e^(ax)-1)/x - (e^(bx)-1)/x, а дальше как?

Question 2

я выходец из обычной школы. У нас всего этого в помине не было.

Question 3

ну значит

Question 4

представьте текущий предел в виде разности двух дрбей

Question 5

e^ax / x - e^bx/ x

Question 6

далее выделите из него четвёртвый замечательный предел

Question 7

берём полученный предел уже, так лучше будет

Question 8

(e^(ax) - 1 / (ax / a) = a * (e^ax - 1)/ax = a * 1 = a

Question 9

последний предел равен 1(это готовый четвёртый замечательный предел)

Question 10

мы знаменатель помножили и разделили на a, затем а вынесли

Question 11

аналогично, второй предел равен b * 1 = b

Question 12

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^{ax}-e^{bx}}{x} =\lim_{x \to 0} \bigg(\frac{e^{ax}}{x}-\frac{e^{bx}}{x} \bigg)=\lim_{x \to 0}\bigg( \frac{e^{ax}-1+1}{x} - \frac{e^{bx}-1+1}{x}\bigg)=\\ \\ \\ =\lim_{x \to 0}\bigg( \frac{e^{ax}-1}{x}+ \frac{1}{x} - \frac{e^{bx}-1}{x} - \frac{1}{x} \bigg)=\lim_{x \to 0} \frac{e^{ax-1}}{x} -\lim_{x \to 0} \frac{e^{bx}-1}{x} =\\ \\\\ =\lim_{x \to 0} \frac{a(e^{ax}-1)}{ax}-\lim_{x \to 0} \frac{b(e^{bx}-1)}{bx} =a\cdot 1-b\cdot 1=a-b$

Использовал замечательный предел $\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} =1$

Question 13

ну лан )

Question 14

в углубленном уровне все замечательные пределы есть

Question 15

Спасибо!

Question 16

$\lim_{x \to 0} \frac{ e^{ \alpha x} - e^{ \beta x} }{x} = \lim_{x \to 0} \frac{( e^{ \alpha x} - 1) - ( e^{ \beta x} - 1) }{x} = \lim_{x \to 0} \frac{ e^{ \alpha x} - 1}{x} - \\ - \lim_{x \to 0} \frac{ e^{ \beta x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{ e^{ \alpha x} -1}{ \frac{ \alpha x}{ \alpha } } - \lim_{x \to 0} \frac{ e^{ \beta x} - 1 }{ \frac{ \beta x}{ \beta } } = \alpha \lim_{x \to 0} \frac{ e^{ \alpha x}-1 }{x} - \\ - \beta \lim_{x \to 0} \frac{ e^{ \beta x} - 1 }{x}$

И далее, учитывая, что $\lim_{x \to 0} \frac{ e^{ \alpha x} - 1}{ \alpha x} = 1, \lim_{x \to 0} \frac{ e^{ \beta x} - 1}{ \beta x} = 1$ (как четвёртые замечательные пределы), получаем, что исходный предел равен $\alpha * 1 - \beta * 1 = \alpha - \beta$

Question 17

Спасибо!