Четырехугольник ABCD вписан в окружность, его диагонали AC и BD пересекаются в точке F, причем AB=8, CD=4, периметр треугольника CDF равен 9, площадь треугольника ABF равна 3sqrt(15). Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ADF.
ΔABF~ΔDCF по двум углам (Из ΔDCF DF+FC=9-4=5. (периметр =9 - дано). Тогда AF+BF=10 (из подобия). Пусть АF=x, тогда BF=10-x. Тогда по формуле Герона Sabf=√([p(p-a)(p-b)(p-c), a S²=p(p-a)(p-b)(p-c). В нашем случае р=(AB+AF+BF)/2=9 и 135=9(9-8)(9-х)(9-10+х) или 135=9(9-х)(х-1). Отсюда 135=90х-9х²-81 или х²-10х+24=0 х1=6, y1=4 и x2=4, y2=6. Sabf=(1/2)*x*y*SinAFB. SinAFB=2Sabf/x*y=6√15/24=√15/4. Sin(180-a)=Sina. SinAFD=√15/4. CosAFD=√(1-15/16)=1/4. По теореме косинусов: AD²=x²+x²/4-2*(x²/2)*(1/4)=x² AD=x. Радиус описанной окружности треугольника ADF по теореме синусов: 2R=AD/SinAFD, R=AD/2SinAFD. Тогда R1=6*4/2√15=12/√15 = 4√15/5. R2=4*4/2√15=8/√15 = 8√15/15. Ответ: R1=4√15/5. R2=8√15/15.