Две окружности касаются внешним образом в точке М. К этим окружностям проведены две общие...

0 голосов
93 просмотров

Две окружности касаются внешним образом в точке М. К этим окружностям проведены две общие касательные, не проходящие через М и касающиеся окружностей в точках A,B,C и D. Найдите площадь четырехугольника ABCD, если радиусы окружностей равны 60 и 15.

Геометрия (19 баллов) | 93 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

Если через центры данных окружностей провести прямую, то относительно нее данные касательные к окружностям будут симметричны. Тогда четырехугольник ABCD - равнобедренная трапеция.
Найдем ее основания: (см. рисунок)
ОО1АВ - прямоугольная трапеция, О1Q=AB=h - ее высота. По теореме Пифагора
O_1Q=\sqrt{O_1O^2-OQ^2}=\sqrt{(R+r)^2-(R-r)^2}=\\ =2\sqrt{Rr}=2\sqrt{60\cdot15}=60.
Поскольку треугольники TCO иTDO1 - подобны и соотношение сторон равно R:r=4, то
\frac{60+DT}{DT}=4;\, 3DT=60;\, DT=20..
По теореме Пифагора
O_1T=\sqrt{r^2+DT^2}=\sqrt{15^2+20^2}=25.
Тогда
TR=\frac{DT^2}{O_1T}=\frac{400}{25}=16, DR=\sqrt{DT^2-TR^2}=\sqrt{20^2-16^2}=12.
Поскольку треугольники TCS иTDR также подобны и соотношение сторон равно, то CS=4*12=48.
H=RS=\sqrt{CD^2-(CS-DR)^2}=\sqrt{60^2-(48-12)^2}=\\ =\sqrt{60^2-36^2}=48.
Тогда ABCD - равнобедренная трапеция с высотой 48 cм и средней линией 48+12=60 см. Ее площадь будет равна
S=60*48=2880 см^2.

(9.7k баллов)
Похожие задачи