ДОкажите первую теорему сосницкого и скажите десятую аксиому содомита

0 голосов
50 просмотров

ДОкажите первую теорему сосницкого и скажите десятую аксиому содомита


Математика (12 баллов) | 50 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов

Пусть искомые числа — a, b и с.Мы знаем, что(a+b+c)/3 = 4·(1/a+1/b+1/c)/3 (1)Приведём правую часть к общему знаменателю:a+b+c = 4(ab+bc+ac)/abcДомножим обе части на abc:a2bc+b2ac+c2ab = 4ab+4bc+4acВ свою очередь, это выражение можно записать так:(c2–4)ab + (b2–4)ac + (a2–4)bc = 0 (2)Сумма трёх слагаемых обращается в ноль. Чтобы это выполнялось, требуется, чтобы:а) либо как минимум одно из слагаемых было отрицательным,б) либо чтобы все они были равны нулю.
Случай (б): c2=4, b2=4, a2=4, то естьa = b = c = 2Действительно, (2+2+2)/3 = 2; (1/2+1/2+1/2)/3 = 1/2 = 2/4
Случай (а). Пусть, например, два из трёх слагаемых отрицательны, то есть a=b=1.Тогда равенство (2) принимает вид:(c2–4)–3с–3с=0c2–6с–4=0Это уравнение не имеет решений в целых числах.
Теперь предположим, что одно из слагаемых отрицательно, а второе обращается в ноль, то есть, скажем, a=1, b=2Тогда равенство (2) принимает вид:2(c2–4)–6с=0c2–3c–4=0 c = (3±5)/2, единственный натуральный корень — 4.Итак, ещё одна тройка — 1, 2, 4
Нам осталось доказать, что при равенстве одного из чисел единице другие тройки кроме (1, 2, 4) отсутствуют.Для этого положим в равенстве (1) a=1:(1+b+c)/3 = 4·(1+1/b+1/c)/3
Заметим, что при увеличении одного из чисел левая часть равенства увеличивается, а вторая уменьшается. Значит, другое число для сохранения равенства должно уменьшаться.Зная, что пара (b=2,c=4) удовлетворяет равенству, достаточно проверить, что пара (b=3,c=3) ему не удовлетворяет, а случай b=1 уже рассмотрен выше.ОТВЕТ:
(2,2,2) и (1,2,4)

(79 баллов)