Задание повышенной сложности, 11 класс. Решить в рамках школьной программы, правило...

Подставив вместо х=п/2, получим $1^{\infty}$ . Если неопределенность $1^{\infty}$ , то работаем всегда со вторым замечательным пределом $\displaystyle \lim_{x\to0} (1+x)^{ \frac{1}{x} }=e$
$\displaystyle \lim_{x\to \frac{\pi}{2} }\sin x^{tgx}=e^\big{\lim_{x\to \frac{\pi}{2} }tg x\ln\sin x}=e^\big{\lim_{x\to \frac{\pi}{2} } \frac{\sin x\ln \sin x}{\cos x} }=\\ \\ \\ =e^\big{\lim_{x\to \frac{\pi}{2} } \frac{(\sin x-1)\ln (1+\sin x-1)}{\cos x\cdot( \sin x-1)} }=e^\big{\lim_{x\to \frac{\pi}{2} } \frac{\sin x-1}{\cos x} }=\\ \\ =e^\big{\lim_{x\to \frac{\pi}{2} } \frac{\cos x(\sin x-1)}{\cos^2x} }=e^\big{\lim_{x\to \frac{\pi}{2} } \frac{\cos x(\sin x-1)}{-(\sin x-1)(\sin x+1)} }=e^0=1$