Уравнение для умных x^5+24x^4-10x^3+21x^2-65x+1=0

Question

Уравнение для умных
x^5+24x^4-10x^3+21x^2-65x+1=0

Comments

Ну если б задача стоила 50 баллов, я бы написала решение через эллиптические функции. Корни иррациональные и не похоже что тут все как-то красиво преобразуется

---

а что есть уверенность , что это уравнение решаемо в радикалах? )

---

приблизетельные значения все уже в течении двухминут посчитали )

---

Есть уверенность, что оно решаемо в тета-функциях. В радикалах в общем случае нерешаемо, это все знают, но я не знаю критерия, по которому можно определить разрешимость в радикалах каждого конкретного

---

я тоже )

---

Да, первым делом в вольфрам, потом разбираться

---

мне поисковой строки гугола достаточно )

---

вольфрам - это уже если есть повод )

---

В любом случае, там три корня, а значит весь полином пилится на неполный квадрат и кубический полином, который решать тоже мало радости

Answer 1

X^5 + 24x^4 - 10x^3 + 21x^2 - 65x + 1 = 0
Найдем значения многочлена в целых точках:
y(0) = 1 > 0
y(1) = 1 + 24 - 10 + 21 - 65 + 1 = 47 - 75 = -28 < 0
x1 ∈ (0; 1)
y(2) = 32 + 24*16 - 10*8 + 21*4 - 65*2 + 1 = 291 > 0
x2 ∈ (1; 2)
y(-1) = -1 + 24 + 10 + 21 + 65 + 1 = 120 > 0
y(-2) = -32 + 24*16 + 10*8 + 21*4 + 65*2 + 1 = 647 > 0
...
y(-24) = -7962624+24*331776+138240+21*576+65*24+1 = 151897 > 0
y(-25) = -9765625+24*390625+156250+21*625+65*25+1=-219624 < 0
x3 ∈ (-25; -24)

Дальше надо уточнять.
y(0,1) = 0,00001+24*0,0001-10*0,001+21*0,01-65*0,1+1 = -5,29759 < 0
y(0,02)=(0,02)^5+24(0,02)^4-10(0,02)^3+21(0,02)^2-65*0,02+1 = -0,29 < 0
y(0,01)=(0,01)^5+24(0,01)^4-10(0,01)^3+21(0,01)^2-65*0,01+1 = 0,352 > 0
x1 ∈ (0,01; 0,02)
y(0,015) = x^5 + 24x^4 - 10x^3 + 21x^2 - 65x + 1 = 0,03 ≈ 0
x1 ≈ 0,015

y(1,3) = (1,3)^5 + 24(1,3)^4 - 10(1,3)^3 + 21(1,3)^2 - 65*1,3 + 1 = 2,28 > 0
y(1,28) = (1,28)^5+24(1,28)^4-10(1,28)^3+21(1,28)^2-65*1,28 + 1 = -0,9 < 0
y(1,29) = (1,29)^5+24(1,29)^4-10(1,29)^3+21(1,29)^2-65*1,29 + 1 = 0,663 > 0
x2 ∈ (1,28; 1,29)
y(1,286) = x^5 + 24x^4 - 10x^3 + 21x^2 - 65x + 1 = 0,03 ≈ 0
x2 ≈ 1,286

y(-24,5) = -24,5^5+24*24,5^4+10*24,5^3+21*24,5^2+65*24,5+1 = -18890 < 0
y(-24,4) = -24,4^5+24*24,4^4+10*24,4^3+21*24,4^2+65*24,4+1 = 17576 > 0
y(-24,45) = x^5 + 24x^4 - 10x^3 + 21x^2 - 65x + 1 = -509 < 0
y(-24,448) = x^5 + 24x^4 - 10x^3 + 21x^2 - 65x + 1 = 220 > 0
y(-24,449) = x^5 + 24x^4 - 10x^3 + 21x^2 - 65x + 1 = -144 < 0
x ∈ (-24,448; -24,449)
Но числа еще достаточно далеко от 0, нужно уточнять дальше.
y(-24,4486) = x^5 + 24x^4 - 10x^3 + 21x^2 - 65x + 1 = 1,686 > 0
y(-24,44861) = x^5 + 24x^4 - 10x^3 + 21x^2 - 65x + 1 = -1,959 < 0
y(-24,448605) = x^5 + 24x^4 - 10x^3 + 21x^2 - 65x + 1 = -0,13 < 0
y(-24,448604) = x^5 + 24x^4 - 10x^3 + 21x^2 - 65x + 1 = 0,23 > 0
y(-24,4486045) = x^5 + 24x^4 - 10x^3 + 21x^2 - 65x + 1 = 0,046 ≈ 0
x ≈ -24,4486045

Comments

А я думала в радикалах...

---

Увы, есть теорема Абеля - Руффини, которая утверждает, что уравнения 5 степени и выше в общем случае в радикалах не решаются - только приближенно.

---

А может это и не тот случай, как проверить? Ведь некоторые уравнения 5-й степени решаются в радикалах

---

Можно попробовать разложить на произведение (x^2+b1x+c1)(x^3+a2x^2+b2x+c2) = 0, а потом решать методом неопределенных коэффициентов. Хотя для 5 степени это непросто.

---

Сразу ясно, что c1=c2=1 или c1=c2=-1 - свободные члены.

---

Но, я провел исследование, и не сумел найти рациональные значения b1, a2, b2.

---

Привет, решение уравнений