Найдите максимально возможное количество острых углов выпуклого многоугольника.

Рассмотрим выпуклый N-угольник. Известно, что сумма его углов обязательно равна 180*(N-2), также известно, что ни один из углов не может быть больше (или даже равным) 180 градусам.

Пусть среди N углов K - острые. Тогда их сумма очевидно меньше 90K, а сумма остальных N-K углов должна превышать

$180(N-2)-90K$

Также Очевидно, что и эта сумма не должна превышать 180(N-K), так как каждый угол меньше 180. Отсюда получим

$180(N-2)-90K\ \textless \ 180(N-K)\\ 180(K-2)\ \textless \ 90K\\ 2K-4\ \textless \ K\\ K\ \textless \ 4\\$

Не более трех острых углов.

Мы нашли верхнюю границу, но это не гарантирует что K=3 действительно возможно. Но вспомнить хотя бы равносторонний треугольник с углами по 60, и станет ясно, что такой случай возможен.