Доказать, что если четырехугольник является одновременно вписанным и описанным, то его...

Question 1

Доказать, что если четырехугольник является одновременно вписанным и описанным, то его площадь равна корню из произведения сторон

Question 2

Посмотрите в учебнике Понарина "Элементарная геометрия" т.1

Question 3

По формуле Брахмагупты площадь вписанного в окружность четырехугольника равна:
$S = \sqrt{(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)}$ ,
где a, b, c, d - стороны четырёхугольника, p - полупериметр.
Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны, т.е.
a + b = c + d
Уберём из формулы площади полупериметр, зная, что a + b = c + d:

$S = \sqrt{(\dfrac{1}{2}(a + b + c + d) - a)(\dfrac{1}{2}(a + b + c + d) - b)} \cdot \\ \\ \sqrt{\dfrac{1}{2}(a + b + c + d) - c)(\dfrac{1}{2}(a + b + c + d) - d)} = \\ \\ \sqrt{\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg )^4(a + b + c -d)(a + b - c + d)(a - b+ c + d)(-a + b + c + d) } = \\ \\ \sqrt{\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg )^4(c + d + c -d)(c + d - c + d)(a - b+ a + b)(-a + b + a + b) }= \\ \\ \sqrt{ \dfrac{1}{16} 2c \cdot 2d \cdot 2a \cdot 2b } = \sqrt{ \dfrac{1}{16}\cdot 16abcd } = \boxed{\sqrt{abcd} }$

Question 4

Слишком длинное решение , Вы забыли про свойство вписанного в окружность четырёхугольника.

Question 5

вообще-то нет, читайте внимательнее, пожалуйста