Дана трёхзвенная замкнутая ломаная АВС . Точки М , К, N - середины её звеньев АВ , ВС и...

Question

Дана трёхзвенная замкнутая ломаная АВС . Точки М , К, N - середины её звеньев АВ , ВС и АС . Точки Р , Е, G - середины отрезков МВ , КС и АN. Найдите длину ломаной АВС , если : а) РВ+ЕС+GA=12 сантиметров ; б) АР+ВЕ+СG=108 сантиметров.

Answer 1

1.
М - середина АВ, значит МВ = АВ/2
Р - середина МВ, значит РВ = МВ/2 = АВ/4

К - середина ВС, значит КС = ВС/2
Е - середина КС, значит ЕС = КС/2 = ВС/4

N - середина АС, значит NA = АС/2
G - середина NA, значит GA = NA/2 = AC/4

По условию
PB + EC + GA = 12
АВ/4 + ВС/4 + АС/4 = 12
1/4 · (АВ + ВС + АС) = 12
АВ + ВС + АС = 12 · 4 = 48 (см)

2.

Из решения первой задачи следует, что

АР = 3/4 АВ
ВЕ = 3/4 ВС
CG = 3/4 AC

По условию
AP + BE + CG = 108
3/4 АВ + 3/4 ВС + 3/4 АС = 108
3/4 · (АВ + ВС + АС) = 108
АВ + ВС + АС = 108 · 4/3 = 144 (см)