Найдите все зачения а, при каждом из которых система: Х+ау =1 Ах +у=2а Имеет решения

Question

Найдите все зачения а, при каждом из которых система: Х+ау =1 Ах +у=2а Имеет решения

Answer 1

X + ay = 1
ax + y = 2a

Умножим второе уравнение на a:

a²x + ay = 2a²
x + ay = 1
Вычтем из первого второе:
a²x - x + ay - ay = 2a² - 1
x(a² - 1) = 2a² - 1
x = (2a² - 1)/(a² - 1) 
Если a = -1 или 1, то систем не будет иметь решений:
x +  y = 1
При a = 1
x + y = 2
И при a = -1
x - y = 1
-x + y = -2

x - y = 1
x - y = 2

Умножим первое уравнение на a:
ax + a²y = a
ax + y = 2a
Вычтем из первого второе:
ax + a²y - ax - y = a - 2a
a²y - y = -a
y(a² - 1) = -a
y = -a/(a² - 1)
Получилось аналогичное решение.

Ответ: при a ∈ (-∞; -1) U (-1; 1) U (1; +∞) система имеет решения. 

Comments

Просто рассуждение: в самом начале вы предлагаете умножать на а. А где исследование о том, что произойдет с системой при а = 0?

---

при a = 0 x = 1, y = 0

---

согласен, в самом решении надо ли это умножение на а как-то легализовать?

---

оно не играет никакой роли, ведь мы ищем все значения параметра а, а не рассматриваем конкретные случаи

---

ни какой роли для результата не сыграет. но мне кажется, для полноты решения не помешало бы. Это по аналогии вместо 100 баллов на ЕГЭ дадут 98. И аргументируют тем, что обе части равенства можно умножать (делить) на одно и тоже число, отличное от нуля. Значит случай нуля для параметра а надо в решении рассматривать отдельно.

---

я не уговариваю поступать по-моему и вносить правку, это просто рассуждения, основанные когда-то на личных "граблях".

---

Учту ваши замечания, а то мне тоже снимут на ЕГЭ за это баллы :D