Решить систему с логарифмами

0 голосов
38 просмотров

Решить систему с логарифмами

image
Алгебра (34 баллов) | 38 просмотров
Дано ответов: 2
0 голосов
Правильный ответ

Рассмотрим логарифмическое уравнение системы:
2log^2_{_3}x+log_{_3}xlog_{_3}y-log^2_{_3}y=0\\ log_{_3}x=a,\ log_{_3}y=b\\ 2a^2+ab-b^2=0\\ (a+b)(2a-b)=0\\ ( log_{_3}x+log_{_3}y)(2log_{_3}x-log_{_3}y)=0\\ log_{_3}(xy) \cdot log_{_3}( \frac{x^2}{y})=0
Исходная система далее преобразуется в совокупность двух систем:
\begin {cases} log_{_3}(xy) =0 \\ xy+\frac{x^2}{y}=28\end {cases}       или     \begin {cases} log_{_3}( \frac{x^2}{y})=0 \\ xy+\frac{x^2}{y}=28\end {cases}
Теперь при х>0 и y>0 получаем:
\begin {cases} xy=1 \\ xy+\frac{x^2}{y}=28\end {cases}       или      \begin {cases} \frac{x^2}{y} =1 \\ xy+\frac{x^2}{y}=28\end {cases}
\begin {cases} y= \frac{1}{x} \\ 1+x^3=28\end {cases}        или       \begin {cases} y= x^2 \\ x^3+1=28\end {cases}
\begin {cases} x^3=27 \\ y= \frac{1}{x} \end {cases}           или          \begin {cases} x^3=27 \\ y=x^2 \end {cases}
\begin {cases} x=3 \\ y= \frac{1}{3} \end {cases}                 или          \begin {cases} x=3 \\ y= 9 \end {cases}
Ответ: (3; 1/3); (3; 9).

image
(25.2k баллов)
0 голосов

ОДЗ  x>0,y>0,x≠1,y≠1
log(3)x=a,log(3)y=b
2a²+ab-b²=0
Решим относительно а
D=b²+8b²=9b²
a1=(-b-3b)/4=-b U a2=(-b+3b)/4=b/2
1)log(3)x=-log(3)y
log(3)x+log(3)y=0
log(3)(x*y)=0
x*y=1
x=1/y
подставим во 2 уравнение
1+1/y³=28
1/y³=27
y³=1/27
y=1/3
x=1:1/3=3
2)log(3)x=1/2*log(3)y
log(3)x=log(3)√y
x=√y
y√y+y/y=28
y√y+1=28
√y³=27
y=9
x=√9=3
Ответ (3;1/3);(3;9)

(750k баллов)
Похожие задачи