Доказать, что выражение принимает только неотрицательные значения: х^2+2х+у^2-4у+5

Question

Доказать, что выражение принимает только неотрицательные значения: х^2+2х+у^2-4у+5

Answer 1

Выделим полные квадраты:
x² + 2x + y² - 4y + 5 = x² + 2x + 1 + y² - 4y + 4 = (x + 1)² + (y - 2)².
(x + 1)² ≥ 0 при любых x, (y - 2)² ≥ 0 при любых y.
Значит, сумма двух квадратов принимает только неотрицательные значения, т.е.
(x + 1)² + (y - 2)² ≥ 0
при любых x и y. 

Answer 2

х^2+2х+у^2-4у+5=(x²+2x+1)-1+(y²-4y+4)-4+5=(x+1)²+(y-2)²
при любом значении х и у квадраты неотрицательны,сумма неотрицательных-неотрицательна