Уравнение прямой: y = kx + b. k - угловой коэффициент, который равен тангенсу угла наклона этой прямой (относительно оси координат).
У первой прямой есть наклон на определенный угол. Тангенс этого угла равен k. Если вторая прямая перпендикулярна первой, то угол её наклона относительно оси координат будет на 90 градусов больше - просто по определению перпендикулярности. Тангенс угла+90 градусов = равно минус котангенс этого угла (см. формулы приведения). То есть если тангенс первой был равен k, то тангенс перпендикулярной ей прямой будет (-1/k).
Первая прямая - это прямая, проходящая через точки A и B. Запишем уравнение первой прямой в виде y=kx+b.
Чтобы получить b, надо в уравнение подставить координаты любой из двух точек (например, B):
Вторая прямая это прямая, перпендикулярная первой (проекция же) и проходящая через точку P. Запишем её уравнение. Причем её угловой коэффициент уже известен и равен -1/k. Осталось найти её b, для чего подставим туда координаты точки, через которую она проходит (точка P).
Искомая точка - точка пересечения первой и второй прямых. То есть её координаты принадлежат обоим уравнениям одновременно. А значит можно записать систему из двух уравнений:
приравниваем правые части, чтобы найти x искомой точки:
k_1x+b_1=k_2x+b_2 \\ (k_1-k_2)x=b_2-b_1 \\ (-\cfrac{4}{7}-\cfrac{7}{4})x=\cfrac{93}{4}-(-\cfrac{16}{7}) \\ -\cfrac{65}{28} \cdot x=\cfrac{715}{28}" alt="k_1x+b_1=k_2x+b_2 \\ (k_1-k_2)x=b_2-b_1 \\ (-\cfrac{4}{7}-\cfrac{7}{4})x=\cfrac{93}{4}-(-\cfrac{16}{7}) \\ -\cfrac{65}{28} \cdot x=\cfrac{715}{28}" align="absmiddle" class="latex-formula">
чтобы найти y искомой точки надо подставить x=-11 в любое из уравнений прямых (точка пересечения принадлежит обеим прямым).
ответ (-11;4)