Нужно подробно, заранее спасибо!

Неопределённост ∞/∞.
Числитель и знаменатель разделим на $\sqrt{x}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{ \sqrt{x+1}+cos( x^{2})}{ \sqrt{4+9x}+1 } = \lim_{n \to \infty} \frac{ \sqrt{1+ \frac{1}{x} }+ \frac{cos( x^{2})}{ \sqrt{x} } }{ \sqrt{ \frac{4}{x} +9}+ \frac{1}{ \sqrt{x} } } =\frac{ \sqrt{1+ \frac{1}{oo} }+ \frac{cos( oo^{2})}{ \sqrt{oo} } }{ \sqrt{ \frac{4}{oo} +9}+ \frac{1}{ \sqrt{oo} } } =$

Т.к. косинус изменяется в пределах плюс минус 1, то разделив его на бесконечность, получим нуль.

$=\frac{ \sqrt{1+ 0}+ 0 }{ \sqrt{ 0+9}+ 0 } = \frac{1}{ \sqrt{9} } = \frac{1}{3}$