Найти наименьшее и наибольшее значение функции в заданном промежутке
1) наименьшее значение функции на отрезке [-1;1] в точке (-1;-5), наибольшее - в точке (0;3) 2) наибольшее значение функции на отрезке [-3;0] в точках (-3;0) и (0;0), наименьшее - в точке (-1;-4)
Решение начнем с задачи 2. Сразу - график функции - в подарок - для лучшего понимания задачи. 2. ДАНО F(x) = x³ + 6x² + 9x. НАЙТИ Предельные значения в интервале - X∈[-3;0] РЕШЕНИЕ Функция ни чётная ни нечетная - у неё есть перегибы. Находим токи экстремумов - в корнях первой производной. F'(x) = 3x² + 12x + 9 = 0 Решаем квадратное уравнение и находим корни F'(x) = 3*(x+1)(x+3) = 0 Корни - х1 = 1 и х2 = - 3. Находим значение минимума при Х= - 1 F(-1) = -4 - минимальное в интервале - ОТВЕТ Находим максимальное значение при Х = - 2 F(-3) = 0 - максимальное значение - ОТВЕТ Можно проверить на границах интервала F(-3) = - 1 - не минимальное F(0) = 0 - равно максимальному. Задача решена. 1) F(x) = 2x³ - 6x² + 3 - график прилагается. Находим производную и её корни. F'(x) = 6x² - 12х = 6х*(х-2) 0 Корни при х1 = 0 и х2 = 2 - за пределами интервала. Вычисляем при х = 0 и получаем F(0) = 3 - максимальное значение - ОТВЕТ И предельные по границам интервала F(-1) = - 5 - минимальное значение - ОТВЕТ F(1) = -1 - не максимальное -
![f(x)=2x^3-6x^2+3;\ x \in [-1;1]
\\f(x)'=2*3x^2-6*2x=6x^2-12x
\\6x^2-12x=0
\\x(x-2)=0
\\x_1=0 \in [-1;1]
\\x_2=2 \notin [-1;1]
\\f(0)=3
\\f(-1)=-2-6+3=-5
\\f(1)=2-6+3=-1](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3D2x%5E3-6x%5E2%2B3%3B%5C+x+%5Cin+%5B-1%3B1%5D%0A%5C%5Cf%28x%29%27%3D2%2A3x%5E2-6%2A2x%3D6x%5E2-12x%0A%5C%5C6x%5E2-12x%3D0%0A%5C%5Cx%28x-2%29%3D0%0A%5C%5Cx_1%3D0+%5Cin+%5B-1%3B1%5D%0A%5C%5Cx_2%3D2+%5Cnotin+%5B-1%3B1%5D%0A%5C%5Cf%280%29%3D3%0A%5C%5Cf%28-1%29%3D-2-6%2B3%3D-5%0A%5C%5Cf%281%29%3D2-6%2B3%3D-1 "f(x)=2x^3-6x^2+3;\ x \in [-1;1]
\\f(x)'=2*3x^2-6*2x=6x^2-12x
\\6x^2-12x=0
\\x(x-2)=0
\\x_1=0 \in [-1;1]
\\x_2=2 \notin [-1;1]
\\f(0)=3
\\f(-1)=-2-6+3=-5
\\f(1)=2-6+3=-1")
![f(x)=x^3+6x^2+9x;\ x \in [-3;0]
\\f(x)'=3x^2+12x+9
\\3x^2+12x+9=0
\\D=144-108=36=6^2
\\x_1= \frac{-12+6}{6} =-1\in [-3;0]
\\x_2=-3\in [-3;0]
\\f(-3)=-27+54-27=0
\\f(-1)=-1+6-9=-4
\\f(0)=0](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3Dx%5E3%2B6x%5E2%2B9x%3B%5C+x+%5Cin+%5B-3%3B0%5D%0A%5C%5Cf%28x%29%27%3D3x%5E2%2B12x%2B9%0A%5C%5C3x%5E2%2B12x%2B9%3D0%0A%5C%5CD%3D144-108%3D36%3D6%5E2%0A%5C%5Cx_1%3D+%5Cfrac%7B-12%2B6%7D%7B6%7D+%3D-1%5Cin+%5B-3%3B0%5D%0A%5C%5Cx_2%3D-3%5Cin+%5B-3%3B0%5D%0A%5C%5Cf%28-3%29%3D-27%2B54-27%3D0%0A%5C%5Cf%28-1%29%3D-1%2B6-9%3D-4%0A%5C%5Cf%280%29%3D0 "f(x)=x^3+6x^2+9x;\ x \in [-3;0]
\\f(x)'=3x^2+12x+9
\\3x^2+12x+9=0
\\D=144-108=36=6^2
\\x_1= \frac{-12+6}{6} =-1\in [-3;0]
\\x_2=-3\in [-3;0]
\\f(-3)=-27+54-27=0
\\f(-1)=-1+6-9=-4
\\f(0)=0")