|a^2+3a-5-x| >= 4 + |2x+4|
Здесь две особые точки: x1 = a^2+3a-5 и x2 = -2.
1) Пусть a^2+3a-5 < -2
a^2+3a-3 < 0
D = 3^2 - 4*1*(-3) = 9 + 12 = 21
a1 = (-3 - √21)/2 ≈ -3,79; a2 = (-3 + √21)/2 ≈ 0,79
a ∈ ((-3 - √21)/2; (-3 + √21)/2)
1) а) Если x < a^2+3a-5 < -2, то |a^2+3a-5-x| = a^2+3a-5-x; |2x+4| = -2x-4
a^2 + 3a - 5 - x >= 4 - 2x - 4
-x <= a^2 + 3a - 5<br>x >= -a^2 - 3a + 5
Решим неравенство
-a^2 - 3a + 5 < a^2 + 3a - 5
a^2 + 3a - 5 > 0
Но по условию x < a^2+3a-5 < -2 < 0, поэтому
Решений нет при x < (a^2+3a-5) < -2
1) б) Если a^2+3a-5 <= x < -2, то |a^2+3a-5-x| = x-a^2-3a+5; |2x+4| = -2x-4<br>x - a^2 - 3a + 5 >= 4 - 2x - 4
-a^2 - 3a + 5 >= -3x
x >= (a^2+3a-5)/3
Но по условию x ∈ [a^2+3a-5; -2), поэтому решим неравенство
(a^2+3a-5)/3 < -2
a^2+3a-5 < -6
a^2+3a+1 < 0
D = 9 - 4 = 5
a1 = (-3 - √5)/2 ≈ -2,618 ; a2 = (-3 + √5)/2 ≈ -0,382
Если a ∈ ((-3 - √5)/2; (-3 + √5)/2), то x ∈ [(a^2+3a-5)/3; -2)
Длина этого интервала больше или равна 1, если
(a^2+3a-5)/3 <= -3<br>a^2+3a-5 <= -9<br>a^2+3a+4 <= 0<br>Это неравенство решений не имеет.
Если a ∈ ((-3 - √21)/2; (-3 - √5)/2] U [(-3 + √5)/2; (-3 + √21)/2)
то решений нет.
1) в) Если a^2+3a-5 < -2 <= x, то |a^2+3a-5-x| = x-a^2-3a+5; |2x+4| = 2x+4<br>x - a^2 - 3a + 5 <= 4 + 2x + 4<br>-a^2 - 3a + 5 - 8 >= x
x <= -a^2 - 3a - 3<br>Решим неравенство
-a^2 - 3a - 3 >= -2
a^2 + 3a + 1 <= 0<br>a1 = (-3 - √5)/2 ≈ -2,618 ; a2 = (-3 + √5)/2 ≈ -0,382
Если a ∈ [(-3 - √5)/2; (-3 + √5)/2], то x ∈ [-2; -a^2-3a-3]
Длина этого интервала больше или равна 1, если
-a^2-3a-3 >= -1
-a^2-3a-2 >= 0
a^2+3a+2 <= 0<br>(a+1)(a+2) <= 0<br>При a ∈ [-2; -1] и при условии a^2+3a-5 < -2 <= x<br>длина интервала x ∈ [-2; -a^2-3a-3] не меньше 1.
Если a ∈ ((-3 - √21)/2; (-3 - √5)/2) U ((-3 + √5)/2; (-3 + √21)/2)
то решений нет.
2) Пусть a^2+3a-5 = -2
a^2+3a-3 = 0
D = 3^2 - 4*1*(-3) = 9 + 12 = 21
a1 = (-3 - √21)/2 ≈ -3,79; a2 = (-3 + √21)/2 ≈ 0,79
|-2 - x| >= 4 + |2x + 4|
2) а) Если x < -2, то |-2-x| = -2-x; |2x+4| = -2x - 4
-2 - x >= 4 - 2x - 4
-2 >= -x
x >= 2
Но по условию x < -2, поэтому решений нет.
2) б) Если x >= -2, то |-2-x| = x+2; |2x+4| = 2x+4
x + 2 >= 4 + 2x + 4
-6 >= x, но по условию x >= -2, поэтому решений нет.
3) Пусть a^2+3a-5 > -2
a^2+3a-3 > 0
D = 3^2 - 4*1*(-3) = 9 + 12 = 21
a1 = (-3 - √21)/2 ≈ -3,79; a2 = (-3 + √21)/2 ≈ 0,79
a ∈ (-oo; (-3 - √21)/2) U ((-3 + √21)/2; +oo)
3) a) Если x < -2 <= a^2+3a-5, то |a^2+3a-5-x| = a^2+3a-5-x; |2x+4| = -2x-4<br>a^2 + 3a - 5 - x >= 4 - 2x - 4
-x <= a^2 + 3a - 5<br>x >= -a^2 - 3a + 5
Решим неравенство
-a^2 - 3a + 5 < -2
-a^2 - 3a + 7 < 0
a^2 + 3a - 7 > 0
D = 3^2 + 4*7 = 9 + 28 = 37
a1 = (-3-√37)/2 ≈ -4,541; a2 = (-3+√37)/2 ≈ 1,541
Если a ∈ (-oo; (-3-√37)/2) U ((-3+√37)/2; +oo), то x ∈ [-a^2-3a+5; -2)
Длина этого интервала больше или равна 1, если
-a^2-3a+5 <= -3<br>0 <= a^2+3a-8<br>D = 3^2+4*8 = 9+32 = 41
a1 = (-3 - √41)/2; a2 = (-3 + √41)/2
При a ∈ (-oo; (-3 - √41)/2] U [(-3 + √41)/2; +oo) и при условии
x < -2 <= a^2+3a-5 длина интервала x ∈ [-a^2-3a+5; -2) не меньше 1.<br>Если a ∈ ((-3-√37)/2; (-3-√21)/2) U ((-3+√21)/2; (-3+√37)/2)
то решений нет.
3) б) Если -2 <= x < a^2+3a-5, то |a^2+3a-5-x| = a^2+3a-5-x; |2x+4| = 2x+4<br>a^2 + 3a - 5 - x >= 4 + 2x + 4
a^2 + 3a - 13 >= 3x
x <= (a^2 + 3a - 13)/3<br>Решим неравенство
(a^2 + 3a - 13)/3 > -2
a^2 + 3a - 13 > -6
a^2 + 3a - 7 > 0
a1 = (-3 - √37)/2 ≈ -4,541; a2 = (-3 + √37)/2 ≈ 1,541
Если a ∈ (-oo; (-3 - √37)/2) U ((-3 + √37)/2; +oo), то x ∈ [-2; (a^2+3a-13)/3]
Длина этого интервала больше или равна 1, если
(a^2+3a-13)/3 >= -1
a^2+3a-13 >= -3
a^2+3a-10 >= 0
(a+5)(a-2) >= 0
При a ∈ (-oo; -5] U [2; +oo) и при условии -2 <= x < a^2+3a-5<br>длина интервала x ∈ [-2; (a^2+3a-13)/3] не меньше 1.
Если a ∈ ((-3 - √37)/2; (-3 - √21)/2) U ((-3 + √21)/2; (-3 + √37)/2)
то решений нет.
3) в) Если -2 <= a^2+3a-5 <= x, то |a^2+3a-5-x| = x-a^2-3a+5; |2x+4| = 2x+4<br>x - a^2 - 3a + 5 >= 4 + 2x + 4
-a^2 - 3a - 3 >= x
x <= -a^2 - 3a - 3<br>Решим неравенство
a^2 + 3a - 5 < -a^2 - 3a - 3
2a^2 + 6a - 2 < 0
D/4 = 3^3 - 2(-2) = 9 + 4 = 13
a1 = (-3 - √13)/2 ≈ -3,303; a2 = (-3 + √13)/2 ≈ 0,303
a ∈ ((-3 - √13)/2; (-3 + √13)/2) ≈ (-3,303; 0,303)
Но по условию 3 пункта
a ∈ (-oo; (-3 - √21)/2) U ((-3 + √21)/2; +oo) ≈ (-oo; -3,79) U (0,79; +oo)
Поэтому, если -2 <= a^2+3a-5 <= x, то решений нет.<br>
Ответ:
1) При a ∈ (-oo; (-3 - √41)/2] U [(-3 + √41)/2; +oo) и при условии
x < -2 <= a^2+3a-5 длина интервала x ∈ [-a^2-3a+5; -2) не меньше 1.<br>2) При a ∈ (-oo; -5] U [2; +oo) и при условии -2 <= x < a^2+3a-5<br>длина интервала x ∈ [-2; (a^2+3a-13)/3] не меньше 1.
3) При a ∈ [-2; -1] и при условии a^2+3a-5 < -2 <= x<br>длина интервала x ∈ [-2; -a^2-3a-3] не меньше 1.