В острый угол BAC вписана окружность (B и C - точки касания). ** большей дуге BC отмечена...

Question

В острый угол BAC вписана окружность (B и C - точки касания). На большей дуге BC отмечена точка M. К прямым AB и AC опущены перпендикуляры ML и MN. На прямую BC опущен перпендикуляр MH.
Докажите, что LM·MN= MH².

Задача с похожим условием уже была на сайте, но, к сожалению, не решена.
Скорее всего, тут нужно рассмотреть подобие ΔMLH и ΔLNH.

Comments

LM·LN = MH²или LM·MN = MH² ?

---

второе

---

Легкое следствие того факта, что угол между касательной и хордой измеряется половиной высекаемой дуги. Поэтому подобны треугольники LBM и HCM; NCM и HBM

---

ну да, ML/MB = MH/MC; MN/MC = MH/MB; и поделить одно на другое.

---

Я где то видел шикарную задачу, где это использовалось как лемма, найду - напишу, что за задача. Вспомнить бы еще, где я это видел :)

---

Избранные задачи ИЗ ЖУРНАЛА "AMERICAN MATHEMATICAL MONTHLY" Серия "Задачи и олимпиады" издательства "Мир" 1977 год. Редкая книга, в серии издали всего 3 книги, все три - настоящие шедевры. Задача 108.

---

Условие такое - если вершины вписанного треугольника совпадают с точками касания описанного треугольника (ну, сторон с окружностью), то произведения длин перпендикуляров из любой точки окружности на стороны вписанного треугольника и на стороны описанного треугольника равны.

---

"и поделить одно на другое" лучше помножить :))))

---

Аналогичная задача: znanija.com/task/24932098

Answer 1

∠MBL= ∪BM/2 (Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, стягиваемой хордой.)
∠MCB= ∪BM/2 (Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.)
∠MBL=∠MCB

Аналогично ∠MBC=∠MCN

△MBL ~ △MCH => ML/MH = MB/MC
△MBH ~ △MCN => MH/MN = MB/MC

ML/MH = MH/MN <=> MH^2= ML*MN

---