2. Дана функция z= z(x,y). Исследовать на экстремум функцию z .

Без всяких вычислений ясно, что экстремумов нет: x^2 - y^2 это "седло".

Теперь с вычислениями:
$z'_x=2(x-1)=0\\ z'_y=-4y=0$

Решаем систему и получаем, что x = 1, y = 0. Находим вторые производные в этой точке:
$z'_{xx}=A=2\\ z'_{yy}=C=-4\\ z'_{xy}=B=0$

Так как AC - B^2 < 0, то экстремума в этой точке нет.

Ответ. Экстремумов нет.

2. Дана функция z= z(x,y). Исследовать ** экстремум функцию z .