99 БАЛЛОВ. Решить задачу Коши. РЕШИТЬ ПОДРОБНО, С ОБЪЯСНЕНИЕМ, пожалуйста, а то не...

Решите задачу:

$y'\cdot sinx+y\cdot cosx=sin2x\; |:sinx\ne 0\\\\y'+y\cdot \frac{cosx}{sinx}= \frac{2sinx\, cosx}{sinx} \\\\y=uv\; ,\; \; y'=u'v+uv'\\\\u'v+uv'+uv\cdot \frac{cosx}{sinx} =2cosx\\\\u'v+u\cdot (\underbrace {v'+v\cdot \frac{cosx}{sinx} }_{0})=2cosx$

$a)\; \; \frac{dv}{dx}+v\cdot \frac{cosx}{sinx}=0\; \; \Rightarrow \; \; \int \frac{dv}{v} =-\int \frac{cosx\cdot dx}{sinx}\\\\. [\; t=sinx\; ,\; dt=cosx\, dx\; ,\; \int \frac{dt}{t}=ln|t|\; +C]\\\\ln|v|=-ln|sinx|\; \; \; \Rightarrow \; \; \; v=(sinx)^{-1}=\frac{1}{sinx}$

$b)\; \; u'\cdot \frac{1}{sinx}=2cosx\\\\ \frac{du}{dx}=2sinx\, cosx\; \; \to \; \; \; \frac{du}{dx}=sin2x\\\\\int du=\int sin2x\, dx\\\\u=-\frac{1}{2}cos2x +C\\\\c)\; \; y=uv=\frac{1}{sinx}\cdot (-\frac{1}{2}\; cos2x+C)\\\\d)\; \; y( \frac{\pi }{4} )=2\sqrt2:\; \; \; 2\sqrt2=\frac{2}{\sqrt2}\cdot (-\frac{1}{2}\cdot 0+C)\; \; \Rightarrow \; \; \; C=2\\\\y= \frac{1}{sinx}\cdot (2- \frac{1}{2}\; cos2x) \; \; -\; \; chastnoe\; reshenie$