Золотая осень,осень(какая?) золотая,
осень(главное,сущ),золотая(зависимое,прилагат.) - связь согласование;
царила в лесу ,царила(где?) в лесу,
царила(главное,глагол),лесу(зависимое,сущ) - связь управление;
старом лесу,лесу(в каком?) старом,
лесу(главное,сущ),старом(зависимое,прилагат.) - связь согласование;
дремучем лесу,лесу(каком?) дремучем,
лесу(главное,сущ),дремучем(зависимое,прилагат.) -связь согласование;
лесной тропинке,тропинке(какой?) лесной,
тропинке(главное,сущ),лесной(зависимое,прилагат.)-связь согласование;
пробежал по тропинке,пробежал(где? по чему) по тропинке,
пробежал(главное,глагол),тропинке(зависимое,сущ) - связь управление;