Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6 корень 3. Найдите объем...

0 голосов
497 просмотров

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6 корень 3. Найдите объем пирамиды, если ее боковая грань составляет с плоскостью основания угол 60 градусов.


Математика (15 баллов) | 497 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

Правильная четырехугольная пирамида - в её основании лежит квадрат., её высота проецируется в центр этого квадрата (точку пересечения диагоналей)

V = 1/3 a² * h  - объём пирамиды

SABCD - пирамида;

S - вершина,

ABCD  - квадрат,

АС ∩ ВД = О

АВ = ВС = СД = ДА = 6√3

SH - высота боковой грани

уг SHO = 60*

V -?

1)  Рассм основание АВСД - квадрат. по т Пифагора диагональ ВД² = 108 + 108 = 216; => ВД = 6√6, половина диагонали ВО = 3√6;

2)  Рассм тр ВОН (уг Н = 90*), в нём ОВ = 3√6; ВН = 3√3;      по т Пифагора ОН² = OB²- BH²;  OH² = 54 - 27 = 27; OH = 3√3

3) Рассм SHO (уг O = 90*), уг Н = 60* (по условию), => уг S = 30 град ( по т о сумме углов в треугольнике) OH = 3√3 => по св-ву катета, лежащего против угла в 30 градусов, HS = 2 * OH; HS = 6√3.  По т Пифагора SO² = SH²-OH²; SO² = 108 - 27 = 81; SO = 9

4) Площадь основания : (6√3)² = 36*3 = 108 (кв ед)

5) V =  1/3 a² * h

    V = 1/3 *108 *9 = 3 * 108 = 324 куб ед

(209k баллов)