Разложить ** множители по т.Безу x^4+7x^3+15x^2+21x+36=0

Question

Разложить на множители по т.Безу
x^4+7x^3+15x^2+21x+36=0

Answer 1

Теорема Безу . Если у многочлена есть рациональные корни, то все они делители свободного члена деленного на коэффициент старшего члена. 
Так как старший член единица, то рациональные корни только целые и делители 36 
+-1;+-2;+-3;+-4;+-6;+-9;+-18;+-36
В данном случае корни это -3 -4, других корней нет

(x+3)(x+4)(x^2+3)=0

Comments

А обязательно все делители выписывать?

---

любой из них может быть потенциальным корнем. но после того как два корня уже найдены, все понятно.

---

Спасибо

---

Фраза про рациональные корни весьма спорная, поскольку говорят про делители только в случае целых чисел. Правильнее было бы сказать, что числитель рационального корня - делитель свободного члена, а знаменатель - старшего коэффициента. И добавить при этом, что утверждение работает только в случае, когда все коэффициенты - целые

---

Согласен. Конечно - Вы правы. Теорема Безу строго именно про это

---

Кстати, содержимое этого утверждения не имеет никакого отношения к теореме Безу, которая только позволяет написать скобку (x-x_0) при угаданном корне x_0, а угадывание x_0 - это совсем другая история

---

Совсем строго: теорема Безу говорит о том, что остаток от деления многочлена f(x) на двучлен (x-a) равен f(a) - значению этого многочлена в точке a. Следствие из теоремы Безу: a является корнем многочлена f(x) (иными словами, f(a)=0) тогда и только тогда, когда f(x) можно разложить на f(x)=(x-a)g(x)

---

посмотоел ужн. Спасибо! перепутал саму теорему с ее следствием... из нее же следует утверждение о рациональных корнях?

---

Нет!!! Никакого отношения! Для доказательства подставляем рациональный корень p/q в многочлен, избавляемся от знаменателей, после чего 1) объединяем в скобку все слагаемые кроме последнего и выносим за скобку p; делаем вывод, что свободный член делится на p; 2) объединяем в скобку все кроме первого и выносим за скобку q; делаем вывод, что старший коэффициент делится на q

---

Конечно с самого начала предполагаем, что дробь p/q несократима