У=х^2, у=6-х, у=0 найти площадь

Строим графики. Начнем с параболы. Ветви направлены вверх; $x_B=0; y_B=0$
x=3, y=9
$y=6-x$ - прямая.
x=0, y =6; y=0, x=6
Точки пересечения $y= x^{2}$ и $y=6-x$ найдем, приравнивая правые части.
$x^{2} =6-x$
$x^2+x-6=0$
$D=1+24=25$
$x_1= \frac{-1+5}{2} =2; x_2= \frac{-1-5}{2}=-3$
$y_1=4; y_2=9$
Из рисунка видно, что нам необходимо найти площадь фигуры OAB. Мы ее найдем как сумму площадей OAC и CAB.
$S_{OAB}=S_{OAC}+S_{CAB}= \int\limits^2_0 {x^2} \, dx + \int\limits^6_2 ({6-x}) \, dx$ = $\frac{x^3}{3}|_{0}^2+(6x- \frac{x^2}{2})|_{2} ^6=( \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3}) +(6(6-2)- \frac{1}{2} (6^2-2^2))= \frac{8}{3} +24-16$ $= \frac{8}{3}+8= \frac{32}{3}=10 \frac{2}{3}$ (кв.ед.)