Сумма трех положительных чисел,составляющих арифметическую прогрессию, равна 12. Если ко...

0 голосов
302 просмотров

Сумма трех положительных чисел,составляющих арифметическую прогрессию, равна 12. Если ко второму изних прибавить 2, к третьему 12, а первое оставить без изменения, получится геометрическая прогрессия. Найдите произведение исходных трёх чисел.

Алгебра (62 баллов) | 302 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ
Пусть первый член арифметической прогрессии a_1, второй - a_2=a_1+d, третий - a_3=a_1+2d. Их сумма по условию равна 12:
a_1+a_2+a_3=12 \\\ a_1+a_1+d+a_1+2d=12 \\\ 3a_1+3d=12 \\\ a_1+d=4
Первый член геометрической прогрессии в этом случае b_1=a_1, второй -b_2=a_2+2=a_1+d+2, третий - b_3=a_3+12=a_1+2d+12.
Запишем характеристическое свойство геометрической прогрессии:
b_2^2=b_1b_3 \\\ (a_1+d+2)^2=a_1(a_1+2d+12)
Объединяем два уравнения в систему:
\left\{\begin{array}{l} a_1+d=4 \\ (a_1+d+2)^2=a_1(a_1+2d+12) \end{array}
\left\{\begin{array}{l} a_1+d=4 \\ (4+2)^2=a_1(4+d+12) \end{array}
\left\{\begin{array}{l} d=4-a_1 \\ a_1(d+16)=36 \end{array}
a_1(4-a_1+16)=36 \\\ a_1(20-a_1)=36 \\\ 20a_1-a_1^2=36 \\\ a_1^2-20a_1+36=0 \\\ (a_1-18)(a_1-2)=0
1.
(a_1)_1=18 \Rightarrow d=4-18=-14; \ a_2=4; \ a_3=-10 - не все члены положительные числа - противоречие условию
2.
(a_1)_2=2 \Rightarrow d=4-2=2; \ a_2=4; \ a_3=6 \\\ a_1a_2a_3=2\cdot4\cdot6=48
Ответ: 48
(271k баллов)
0

Я немного по другому вычислял, но результат конечно тот же. Выкладывать не стал, т.к. подумал что слишком намудрил, что можно как то проще найти это произведение... Всё же, выложу в комментариях, может кому то больше подойдёт.

Обозначим эти числа как a, b, c. Запишем уравнение:
a + b + c = 12
перепишем, выразив все три числа через b и разность прогрессии (d):
(b-d) + b + (b+d) = 12
3b = 12
b = 12/3 = 4

оставил комментарий (5.3k баллов)
0

по свойству арифметической прогрессии составим уравнение:
b - a = c - b
c = b - a + b = 2b - a = 2*4 - a = 8 - a
Члены геометрической прогрессии будут:
a, b+2, c+12
по свойству геометрической прогрессии составим уравнение:
(b+2)/a = (c+12)/(b+2)
подставим в него вместо b -значение, а вместо c -составленное выше выражение:
(4+2)/a = (8 - a + 12)/(4+2)
6/a = (20 - a)/6
6/a = 20/6 - a/6
домножим обе части уравнения на 6a:
6*6a/a = 20*6a/6 - a*6a/6
36 = 20a - a^2
a^2 - 20a + 36 = 0

оставил комментарий (5.3k баллов)
0

a1= (20 + sqr((-20)^2 - 4*1*36)/(2*1) = 20 + sqr(400 - 144)/2 = (20 + 16)/2 = 18
c = 8 - 18 = -10 (не подходит по условиям задания, т.к. числа a,b,c должны быть положительные)
а жаль что не подошло, остальные условия соблюдаются:
18; 4; -10 (разность прогресии d= -14)
18; 6; 2 (знаменатель прогрессии q= 1/3)

a2= (20 - sqr((-20)^2 - 4*1*36)/(2*1) = 20 - sqr(400 - 144)/2 = (20 - 16)/2 = 2
c = 8 - 2 = 6
2; 4; 6 (разность прогресии d= 2)
2; 6; 18 (знаменатель прогрессии q= 3)
2*4*6 = 48

Ответ: 48

оставил комментарий (5.3k баллов)
Похожие задачи