Доказать методом математической индукции:

1) n = 1

$C_1^1 = 1 = 1*2^0$

2) предположим для k - верно

$C_k^1 + 2C_k^2+...+kC_k^k=k*2^{k-1}$

докажем для k+1

воспользуемся тем, что

$C_{k+1}^{m+1} = C_k^{m+1}+C_k^{m}$
$\sum_{k=1}^nC_n^k=2^n$

$C_{k+1}^1 + 2C_{k+1}^2 + ... + (k+1)C_{k+1}^{k+1} = \\ =C_k^0 + C_k^1 + 2C_k^1 + 2C_k^2 +... + (k+1)C_k^{k+1} + (k+1)C_k^k=\\ =(C_k^1 + 2C_k^2 + ... + kC_k^k) + (2C_k^1 + 3C_k^2 + 4C_k^3 + ... +(k+1)C_k^k) = \\ =k*2^{k-1} + 2^k + k*2^{k-1} = \\ =2k*2^{k-1} + 2^k = k*2^k + 2^k = (k+1)*2^k$
что и требовалось доказать