Решить уравнение

Решим методом неопределённых коэффициентов.
$x^4-12x-17=(x^2+px+q)(x^2+rx+s)$
$\begin{cases} & \text{ } p+r=0 \\ & \text{ } s+q+pr=0 \\ & \text{ } ps+qr=-12 \\ & \text{ } qs=-17 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} & \text{ } p=-r \\ & \text{ } s+q-r^2=0 \\ & \text{ } -rs+qr=-12 \\ & \text{ } qs=-17 \end{cases}\Rightarrow\\ \\ \\ \Rightarrow\begin{cases} & \text{ } p=-r \\ & \text{ } q=-s+r^2\\ & \text{ } -rs+r(-s+r^2)=-12 \\ & \text{ } s(-s+r^2)=-17 \end{cases}$

$\begin{cases} & \text{ } s= \frac{r^3+12}{2r} \\ & \text{ } (r^2-s)s+17=0 \end{cases}\\ \\ \\ \frac{r^3+12}{2r} \cdot(r^2- \frac{r^3+12}{2r} )+17=0|\cdot 4r^2\ne0\\ \\ (r^3+12)(2r^3-r^3-12)+68r^2=0\\ (r^3+12)(r^3-12)+68r^2=0\\ r^6+68r^2=144$

Пусть $r^2=t(t \geq 0)$ . Получим $t^3+68t=144$ . Левая часть уравнения является возрастающей функцией(как сумма возрастающих функций), значит уравнение имеет один единственный корень. Путем подбора находим решение. Это t=2.

Обратная замена $r^2=2$ откуда $r=\pm \sqrt{2}$

Имеем коэффициенты: $r=-\sqrt{2} ;\,\,\,\, p=\sqrt{2} ;\,\,\,\, q=3\sqrt{2} +1;\,\,\,\,\,s=1-3\sqrt{2}$ и $r=\sqrt{2} ;\,\,\,\,\, p=-\sqrt{2} ;\,\,\,\, q=1-3\sqrt{2} ;\,\,\,\, s=3\sqrt{2} +1$

$x^2+\sqrt{2} x+1+3\sqrt{2}=0$ - уравнение действительных корней не имеет, так как D<0<br>
$x^2-\sqrt{2} x+1-3\sqrt{2}=0$

Решив квадратное уравнение, получим $x_{1,2}= \dfrac{\sqrt{2}\pm \sqrt{-2+12\sqrt{2}} }{2}$

Ответ: $\dfrac{\sqrt{2}\pm \sqrt{-2+12\sqrt{2}} }{2} .$