10 класс
1. У Вани есть ровно столько денег, сколько нужно на покупку килограмма персиков и килограмма яблок. Если он купит на 10% персиков больше, то ему сделают 30 – процентную скидку на яблоки, и оставшихся денег ему хватит на покупку, по крайней мере, килограмма яблок. А если он купит на 30% яблок больше, то ему сделают 10 – процентную скидку на персики, и оставшихся денег ему хватит на покупку, по крайней мере, килограмма персиков. Что дороже и во сколько раз: килограмм персиков или килограмм яблок?
2. Решите систему уравнений:
3. Можно ли в бесконечной последовательности чисел
Выбрать 7 чисел, образующих арифметическую прогрессию?
4. Квадрат со стороной 10 разрезают на прямоугольники 1х2 (в некоторых из них клетки расположены горизонтально, в некоторых – вертикально). Может ли при этом число вертикальных и горизонтальных прямоугольников быть одинаковым?
5. Две окружности равных радиусов пересекаются в точках B и C . На первой окружности выбрана точка A. Луч AB пересекает вторую окружность в точке D (B ¹ D). На луче DC выбрана точка E так, что DC = CE. Докажите, что угол DAE – прямой.