Прошу помощи в решение задачи по математики. В задаче дан степенной ряд.** фото...

0 голосов
30 просмотров

Прошу помощи в решение задачи по математики.

В задаче дан степенной ряд.
На фото задание.

Решить надо:

а=4, b=7

image
Математика (31 баллов) | 30 просмотров
0

То чувство, когда составители билета понимают в теории рядов столько же, сколько экзаменуемый

оставил комментарий (4.1k баллов)
0

Интеграл сходимости, интервал сходимости - какая в сущности разница)

оставил комментарий (4.1k баллов)
0

для меня это полный лес дров.

оставил комментарий (31 баллов)
0

Для твоих экзаменаторов тоже. Тикай с вуза, мой те совет)

оставил комментарий (4.1k баллов)
0

;))

оставил комментарий (31 баллов)
0

Подозреваю, что слово интеграл вместо интервал - это какой-нибудь Punto Switcher поправил, а препод не заметил.

оставил комментарий (320k баллов)
0

я дописал

оставил комментарий (31 баллов)
0

Для меня высшая математика это просто караул

оставил комментарий (31 баллов)
0

GiiR, ряды, даже функциональные - это одна из самых простых частей вышмата. Поверьте, диффуры и интегралы намного сложнее.

оставил комментарий (320k баллов)
Дано ответов: 2
0 голосов
Правильный ответ

Решите задачу:

a=4\; ,\; b=7\\\\\sum\limits _{n=1}^{\infty }\; \frac{4^{n}x^{n}}{7^{n}\cdot \sqrt[4]{n+1}}=\frac{4x}{7\sqrt[4]{2}}+\frac{16x}{49\sqrt[4]{3}}+\frac{64x}{343\sqrt[4]{4}}+...\\\\ \lim\limits _{n \to \infty} \; \frac{|u_{n+1}|}{|u_{n}|} = \lim\limits _{n \to \infty}\; \frac{4^{n+1}|x|^{n+1}}{7^{n+1}\cdot \sqrt[4]{n+2}}:\frac{4^{n}|x|^{n}}{7^{n}\cdot \sqrt[4]{n+1}} =\\\\=\lim\limits _{n \to \infty}\; \frac{4^{n}\cdot 4\cdot |x|^{n}\cdot |x|}{7^{n}\cdot 7\cdot \sqrt[4]{n+2}}\cdot \frac{7^{n}\cdot \sqrt[4]{n+1}}{4^{n}\cdot |x|^{n}} = \frac{4}{7}\cdot |x|\ \textless \ 1\\\\-1\ \textless \ \frac{4}{7}\cdot x\ \textless \ 1

- \frac{7}{4}\ \textless \ x\ \textless \ \frac{7}{4}\\\\x\in (- \frac{7}{4}; \frac{7}{4} )\; \; -\; \; interval\; sxodimosti\\\\x=\frac{7}{4}:\; \; \sum\limits _{n+1}^{\infty } \frac{1}{\sqrt[4]{n+1}} \; \; -\; \; rasxoditsya\; ,\; t.k.\; \frac{1}{\sqrt[4]{n+1}}\sim \frac{1}{\sqrt[4]{n}} =\frac{1}{n^{1/4}},\; \frac{1}{4}\ \textless \ 1\\\\x=-\frac{7}{4}\; :\; \sum\limits _{n+1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{\sqrt[4]{n+1}} \; -\; yslovno\; sxoditsya\; po\; pr.\; Lejbnica\\\\x\in [-\frac{7}{4};\frac{7}{4})\; -\; oblast\; sxodimosti
(834k баллов)
0 голосов
\frac{4^n*x^n}{7^n* \sqrt[4]{n+1} }
К сожалению, знак ряда я здесь изобразить не могу.
Три первых члена ряда:
a1= \frac{4x}{7 \sqrt[4]{2} } ; \\ a2= \frac{16x^2}{49 \sqrt[4]{3} }; \\ a3= \frac{64x^3}{343 \sqrt[4]{4} }
Интервал сходимости можно найти по признаку Даламбера.
\lim_{n \to \infty} \frac{a(n+1)}{a(n)} = \lim_{n \to \infty} ( \frac{4^{n+1}*x^{n+1}}{7^{n+1}* \sqrt[4]{n+2} }: \frac{4^n*x^n}{7^n* \sqrt[4]{n+1} } )= \lim_{n \to \infty} (\frac{4x}{7}\frac{ \sqrt[4]{n+1} }{ \sqrt[4]{n+2} } )
Ряд сходится, если этот предел меньше 1.
\lim_{n \to \infty} ( \frac{4x}{7}* \sqrt[4]{ \frac{n+1}{n+2} } )= \frac{4x}{7}* \lim_{n \to \infty} \sqrt[4]{ \frac{n+2-1}{n+2} } = \\ = \frac{4x}{7}* \lim_{n \to \infty} \sqrt[4]{1- \frac{1}{n+2} }= \frac{4x}{7}*1\ \textless \ 1
|x| < 7/4
На концах интервала получаются ряды:
При x = 7/4:
\lim_{n \to \infty} ( \frac{4^n}{7^n}*( \frac{7}{4} )^n* \frac{1}{ \sqrt[4]{n+1} } )= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{ \sqrt[4]{n+1} }
Это обобщенный гармонический ряд вида \frac{1}{n^k}
Он расходится при показателе k ∈ (0; 1), как у нас и есть: k = 1/4 < 1
Значит, при x = 7/4 ряд расходится.
При x = -7/4 получается знакопеременный ряд, который сходится условно по признаку Лейбница.
Интервал сходимости: x ∈ [-7/4; 7/4)

(320k баллов)
Похожие задачи