Помогите, пожалуйста. Тема: Ряды. 1) Выясните применяется ли необходимы признак...

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n+2}{\ln(n+1)} =\infty\ne 0$

Необходимый признак сходимости ряда не выполняется, значит ряд расходится.

$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} \frac{\ln n}{n} \\ \\ \\ \frac{\ln n}{n} \leq \ln n$

По первому признаку сравнения ряд $\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} \ln n$ расходится, значит и данный ряд тоже будет расходится.

$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} \frac{n+5}{n^2-2} \\ \\ \\ \frac{n+5}{n^2-2} \leq \frac{1}{n}$

$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} \frac{1}{n}$ - это гармонический ряд и он расходится

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n+5}{n^2-2}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n(n+5)}{n^2-2} =1\ne 0$

Поскольку $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n \ne 0$ , то оба ряда будут вести себя одинаково, значит данный ряд тоже будет расходится.

$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} \frac{n\cdot 2^n}{5^n+12}$

По признаку Даламбера

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1}(n+1)(5^n+12)}{n\cdot 2^n\cdot (5^{n+1}+12)} =2\ \textgreater \ 1$

Ряд расходится