Вот рисунок. Нам нужно найти площадь красного треугольника.
Сначала рассмотрим основание пирамиды - равносторонний тр-ник.
Если его сторона а, то медиана (она же высота и биссектриса) a√3/2. Поэтому высота нижнего основания h1=9√3, а верхнего h2=9√3/2.
Нарисуем сечение пирамиды вертикальной плоскостью.
Оно показано на рисунке справа. Высота сечения H=8.
Самое трудное - найти боковое ребро пирамиды b.
Если достроить трапецию до треугольника, то получится, что верхнее основание трапеции - это средняя линия треугольника, потому что она в 2 раза меньше нижнего основания. Значит, высота верхнего треугольника равна высоте трапеции, 8 см, а общая высота - 16 см.
Высота треугольника (и пирамиды) опускается в центр треугольника основания, который лежит на расстоянии 2/3 длины медианы от угла.
AK = 9√3; AO = 2/3*AK = 6√3; KO = 1/3*AK = 3√3
Боковое ребро b найдем по теореме Пифагора
(2b)^2 = AO^2 + (2H)^2 = (6√3)^2 + 16^2 = 36*3 + 256 = 108 + 256 = 364
2b = √364 = 2√91; b = √91
Теперь нам нужно найти диагональ D. Для этого найдем угол A.
Сначала найдем площадь треугольника.
S(KAA1) = a*H/2 = 9√3*8/2 = 36√3
С другой стороны, S(KAA1) = 1/2*a*b*sin A
36√3 = 1/2*9√3*√91*sin A
sin A = 36*2/(9*√91) = 8/√91
cos A = √(1 - sin^2 A) = √(1 - 64/91) = √(27/91) = √27/√91
По теореме косинусов
D^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos A = (9√3)^2 + (√91)^2 - 2*9√3*√91*√27/√91 =
= 81*3 + 91 - 18√3*√27 = 243 + 91 - 18*9 = 334 - 162 = 172
D = √172 = 2√43
Теперь, наконец-то можно найти площадь нужного нам сечения.
S(A1BC) = a*h/2 = 18*2√43/2 = 18√43
Вроде бы все правильно нашел.
