Пусть x - действительное число. Докажите, что 2^(sinx)+2^(cosx) ≥

Используя неравенство Коши, получим
$2^{\sin x}+2^{\cos x} \geq 2 \sqrt{2^{\sin x}\cdot 2^{\cos x}} =2^{1+ \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(x+ \frac{\pi}{4}) } \geq 2^{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}$
Знак равенства достигается когда $1+\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(x+ \frac{\pi}{4}) =1-\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\sin(x+ \frac{\pi}{4} )=-1\\ \\ x+\frac{\pi}{4} =-\frac{\pi}{2}+2 \pi k,k \in Z\\ \\ x=-\frac{3\pi}{4} +2 \pi k,k \in Z$

То есть, достигается при $x=-\frac{3\pi}{4} +2 \pi k,k \in Z$