(k+1)x^2-2x+1-k=0 Решить уравнение

Question

Дано ответов: 2

skvrttt_zn · Answer 1 · 2018-05-16T12:46:19+0000

Решение:

$\displaystyle\mathtt{(k+1)x^2-2x+1-k=0;~[a=k+1;~b=-2;~c=1-k]~D=b^2-}\\\displaystyle\mathtt{-4ac=(-2)^2-4(k+1)(1-k)=4[1-(1-k)(1+k)]=}\\\displaystyle\mathtt{=4(1-[1^2-k^2])=4(1-1+k^2)=4k^2;}$

первый вариант, когда $\displaystyle\mathtt{D\ \textless \ 0}$ ; ответ: решений нет; решение:

$\displaystyle\mathtt{D\ \textless \ 0~\to~4k^2\ \textless \ 0~\to~k^2\ \textless \ 0}$

второй вариант, когда $\displaystyle\mathtt{D=0}$ ; ответ: $\displaystyle\mathtt{x=(k+1)^{-1}}$ при $\displaystyle\mathtt{k=0}$ ; решение:

$\displaystyle\mathtt{D=0~\to~4k^2=0~\to~k^2=0~\to~k=0~\to~x=\frac{-bб\sqrt{D}}{2a}=\frac{-b}{2a}=}\\\displaystyle\mathtt{=\frac{-(-2)}{2(k+1)}=\frac{2}{2(k+1)}=\frac{1}{k+1}}$

третий вариант, когда $\displaystyle\mathtt{D\ \textgreater \ 0}$ ; собственно, решение:

$\displaystyle\mathtt{D\ \textgreater \ 0~\to~4k^2\ \textgreater \ 0~\to~k^2\ \textgreater \ 0~\to~k\in(-\infty;0)(0;+\infty)~\to~x=}\\\displaystyle\mathtt{=\frac{-bб\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-2)б\sqrt{4k^2}}{2(k+1)}}=\frac{2б2|k|}{2(k+1)}=\frac{б|k|+1}{k+1}};$

$\displaystyle\mathtt{x=\frac{б|k|+1}{k+1}}}$ для $\displaystyle\mathtt{k\neq0}$ , теперь стоит учесть ОДЗ: $\displaystyle\mathtt{k+1\neq0}$ , как знаменатель, поэтому наша половина ответа выглядит так: при $\displaystyle\mathtt{k\in(-\infty;-1)(-1;0)(0;+\infty)}$ корень уравнения ищется по формуле $\displaystyle\mathtt{x=\frac{б|k|+1}{k+1}}}$

итак, поработав немного с модулем, можно вывести окончательный ответ:
1. $\displaystyle\mathtt{x=-\frac{k-1}{k+1}}$ при $\displaystyle\mathtt{k\in(-\infty;-1)(-1;0)}$ ; 2. $\displaystyle\mathtt{x=\frac{k+1}{k+1}}}$ при $\displaystyle\mathtt{k\ \textgreater \ 0}$ .