А) Дверь тихонико заскрипела, и в светлицу входит царь.
Здесь И соединяет 2 простых предложения.
ГЛАВНЫЕ ЧЛЕНЫ ПРЕДЛОЖЕНИЯ:
Дверь заскрипела И входит царь...
б) Между тем, как он далеко бьётся долго и жестоко.
Здесь И соединяет однородные обстоятельства (наречия).
ОДНОРОДНЫЕ ЧЛЕНЫ:
Долго И жестоко.