Найти интеграл

Я не знаю, как до этого догадываются без компа, но идея следующая

$\displaystyle 1)\quad\frac{\cos^{n-1}((x+a)/2)}{\sin^{n+1}((x-a)/2)} = \frac{\cos^{n-1}((x+a)/2)}{\sin^{n-1}((x-a)/2)}\frac{1}{\sin^2((x-a)/2)}\\\\ 2)\quad\cos(a) = \cos\left(\frac{x+a}{2}-\frac{x-a}{2}\right) =\\ \cos\left(\frac{x+a}{2}\right)\cos\left(\frac{x-a}{2}\right)+ \sin\left(\frac{x+a}{2}\right)\sin\left(\frac{x-a}{2}\right) =\\2\left[\cos((x+a)/2)\sin'\((x-a)/2) - \cos'((x+a)/2)\sin((x-a)/2) \right]$

После такого возникает синтез

$\displaystyle 1+2)\quad\frac{\cos^{n-1}((x+a)/2)}{\sin^{n+1}((x-a)/2)} = \\\\ =-n\left(\frac{\cos((x+a)/2)}{\sin((x-a)/2)}\right)^{n-1}\left(\frac{\cos((x+a)/2)}{\sin((x-a)/2)}\right)'\frac{2}{n\cos a} = \\\\ -\frac{2}{n\cos a}\left[\left(\frac{\cos((x+a)/2)}{\sin((x-a)/2)}\right)^{n}\right]'$

От полной производной интеграл взять осталось, правда, легко?

$\displaystyle \int\quad\frac{\cos^{n-1}((x+a)/2)}{\sin^{n+1}((x-a)/2)}dx =- \frac{2}{n\cos a} \left(\frac{\cos((x+a)/2)}{\sin((x-a)/2)}\right)^{n} + C$