помогите пожалуйста.найдите углы треугольника ABC ,если известно,что биссектриса AD равна...

Question

помогите пожалуйста.найдите углы треугольника ABC ,если известно,что биссектриса AD равна AC и,кроме того,AD=DB/

Answer 1

Это ОЧЧЕНЬ хороший треугольник, потому что из него можно легко найти выражение для тригонометрических функций углов, кратных pi/10 (то есть 18 градусов);

 

Пусть угол DAC = Ф;

Тогда 

угол BAD = Ф; (AD - биссектриса)

угол ABD = Ф; (треугольник ADB равнобедренный)

угол ADC = угол DAB + угол ABD = 2*Ф; (внешний угол треугольника)

угол ACD = угол ADC = 2*Ф; (треугольник ADС равнобедренный)

Итак, в треугольнике ADC углы Ф, 2*Ф и 2*Ф. Остюда Ф = pi/5 = 36 градусов.

 

Само собой, что в треугольнике АВС углы при основании 2*Ф = 72 градуса, угол при вершине 36 градусов.

Треугольник АВС равнобедренный - при решении мы этим нигде не пользовались, это само так получилось.

Answer 2

1) обозначим  угол CAD = x, тогда угол DAB = x, так как АД- биссектриса

и угол АСД = y 

2) так как АС=АД и АД=ДВ из условия, то треугольники АСД и АДВ равнобедренные

3) так как треугольники АСД и АДВ равнобедренные, то углы САД=ДАВ=АВД=х,

    АСД=АДС=у

4) сумма углов треугольника = 180 градусов и сумма смежных углов = 180 градусов, значит выразим угол АДВ=180-2х=180-у. решаем равенство, находим зависимость у от х:   у=2х

5) рассмотрим треугольник АСД: х+2у=х+2х+2х=5х=180; 5х=180; х=36 (градусов)

тогда у= 36*2=72 градуса

6) угол А = САД=ДАВ=2х=72 градуса

    угол В = х = 36 градусов

    угол С = АСД = у=2х= 72 градуса

ОТВЕТ:  72,  36,  72