Помогите решить тригонометрическое уравнение 2sin^2x=1-(2-cosx)^2

0 голосов
47 просмотров

Помогите решить тригонометрическое уравнение
2sin^2x=1-(2-cosx)^2

Алгебра (121 баллов) | 47 просмотров
Дано ответов: 2
0 голосов
Правильный ответ

2sin²2x=1-(2-cosx)² ;
2(1-cos²x) =1 - 4 +4cosx -cos²x ;
cos²x + 4cosx - 5=0  ;         ***  cosx =1  *** 
*** приведенное квадратное уравнение относительно cosx ***
cosx₁ = -2-√(2²-(- 5))= - 5  не имеет решения среди действительных чисел
cosx₂ = -2+3=1.  ⇒  x₂ =2πn , n ∈ℤ .

ответ : 2πn , n ∈ℤ 
----------
cos²x+4cosx-5=cos²x-cosx+5cosx-5=cosx(cosx-1)+5(cosx-1)=
=(cosx-1)(cosx+5)

(181k баллов)
0 голосов
2\sin^2 x=1-(2-\cos x)^2\\ 2\sin^2 x=1-4+4\cos x-\cos ^2x\\ \\ \sin^2 x-4\cos x+\sin^2 x+\cos^2x +3=0\\ \\ \sin^2x-4\cos x+4=0\\ 1-\cos^2x-4\cos x+4=0\\ \\ \cos^2x +4\cos x-5=0

Введём замену. Пусть \cos x=t, при условии что |t| \leq 1, получаем

t^2+4t-5=0

Согласно т. Виета: 
t_1=-5 - не удовлетворяет условию

t_2=1

Возвращаемся к обратной замене

\cos x=1\\ \\ \boxed{x=2 \pi n,n \in \mathbb{Z}}
Похожие задачи