12 номер профильного егэ - производная

Для нахождения экстремумов (в т.ч. минимума) найдём производную функции, приравняем её нулю и решим, полученное уравнение. Корни уравнения будут экстремумами. Проверяем, какой из них минимум, и проверяем, попадает или нет в заданный интервал, иначе придётся вычислять на концах интервала и выбирать минимальное.

$y'=(x^{3} -20 x^{2} +100x+7)'=3 x^{2} -40x+100=0 \\ \\ x _{1,2} = \frac{40+/- \sqrt{40^2-4*3*100}}{2*3} = \frac{40+/-20}{6} \\ \\ x _{1} =10 \\ \\ x _{2} = \frac{10}{3}$

Первый корень - максимум, знак производной меняется с плюса на минус, а второй - минимум, знак производной меняется с минуса на плюс. Проверьте.

x = 10 ∈ [9,5; 13] , следовательно в этой точке минимум функции, и минимум на указанном интервале.

Подставляем значение икса, чтобы найти значение функции:
$10^3-20*10^2+100*10+7=1000-2000+1000+7=7$

Ответ: $y_{min}=7$