ВАРИАНТ 4 1 Доказать: A \ B ⊆A. 2 Существуют ли такие множества A, Bи C, что A∩B≠∅, A∩...

Question

59 просмотров

ВАРИАНТ 4
1 Доказать: A \ B ⊆A.
2 Существуют ли такие множества A, Bи C, что A∩B≠∅, A∩ С≠∅, (A∩B) \ С ≠∅.
3 Доказать, что множество во всех корней многочленаΨ(x)=(f(x))2+(φ(x))2 есть пересечение множеств корней многочленов f(x) и φ(x).
4 Доказать тождество (A∪B) ∩A = (A ∩B) ∪ A = A ПОМОГИТЕ ПЖС ПЖС ПЖС

Математика Grigoremshahmen_zn (15 баллов) 16 Май, 18 | 59 просмотров

Дан 1 ответ

Правильный ответ

1.
По определению:

$A\setminus B = \{ x\in A| x\notin B\}$

Следовательно:
$\forall x\in A\setminus B \Rightarrow x\in A$

Т.е. $A\setminus B \subseteq A$

2.
Ответ положительный. Пусть,
$A = B =\{1,2\}, C=\{1\}$

То,
$A\cap B =\{1,2\}\ne \emptyset\\\\A\cap C=\{1\}\ne \emptyset\\\\(A\cap B)\setminus C =\{2\} \ne \emptyset$

3.
Пусть,
$C=\{c_1, c_2,...c_n\}$ - множество корней многочлена $\psi (x)$ .

$A=\{a_1, a_2,...a_k\}, B=\{b_1, b_2,...b_m\}$ - множества корней $f(x), \phi(x)$ соответственно.

Достаточно доказать что два множества являются подмножествами друг друга, т.е. $A\cap B \subseteq C, C\subseteq A\cap B$

В одну сторону, $A\cap B \subseteq C:$
Если $x\in A\cap B$ , то выполняется $(f(x))^2=0, (\phi(x))^2=0$ (т.к. он является корнем каждого из многочленов).
Следовательно, $\psi(x)=0+0=0$ , т.е. $x \in C$ .

В другую сторону, $C\subseteq A\cap B:$
Если $x\in C$ то выполняется $\psi(x)=0$ , т.е.
$(f(x))^2+(\phi(x))^2=0 \iff (f(x))^2 = -(\phi(x))^2$
Т.к. $(\phi(x))^2, (f(x))^2 \geq 0$ , то $(f(x))^2 =0$ (потому что при (f(x))^2 >0 получаем противоречие равенству выше).Отсюда следует, $(\phi(x))^2=0$ . Т.е. $x\in A\cap B$ .

Следовательно, $A\cap B = C$ .

4.
Здесь довольно очевидно, достаточно воспользоваться определением.

Newtion_zn (46.3k баллов) 16 Май, 18