1.
По определению:
Следовательно:
Т.е.
2.
Ответ положительный. Пусть,
То,
3.
Пусть,
- множество корней многочлена .
- множества корней соответственно.
Достаточно доказать что два множества являются подмножествами друг друга, т.е.
В одну сторону,
Если , то выполняется (т.к. он является корнем каждого из многочленов).
Следовательно, , т.е. .
В другую сторону,
Если то выполняется , т.е.
Т.к. , то (потому что при (f(x))^2 >0 получаем противоречие равенству выше).Отсюда следует, . Т.е. .
Следовательно, .
4.
Здесь довольно очевидно, достаточно воспользоваться определением.